《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

7. [2024 四平模拟]如图①，张爷爷用 30 m 长的隔离网在一段 15 m 长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边 $CD$ 靠院墙，$AD$ 和 $BC$ 与院墙垂直，设 $BC$ 的长为 $x$ $m$。
(1)$AB$ 的长为(30-2x) m。
(2)如图②，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网。已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 $100$ $m^{2}$？若能，求出 $AB$ 的长；若不能，请说明理由。

答案： 1. 首先，根据隔离网的长度表示出$AB$的长：
已知$BC = xm$，因为有两道隔离网与院墙垂直，所以$AD = BC=xm$，隔离网总长$30m$，则$AB=(30 - 4x)m$。
2. 然后，根据矩形面积公式列方程：
由矩形面积公式$S = AB× BC$，已知$S = 100m^{2}$，可得方程$x(30 - 4x)=100$。
整理方程：
展开$x(30 - 4x)=100$得$30x-4x^{2}=100$，移项化为标准的一元二次方程形式$4x^{2}-30x + 100 = 0$，两边同时除以$2$得$2x^{2}-15x + 50 = 0$。
接着，判断方程根的情况：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 2$，$b=-15$，$c = 50$，根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
计算$\Delta=(-15)^{2}-4×2×50=225 - 400=-175\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根，即养殖园的面积不能达到$100m^{2}$。

8. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 6$ $cm$，点 $P$，$Q$ 同时从点 $B$，$A$ 出发，分别向终点 $A$，$C$ 移动，点 $P$，$Q$ 运动的速度分别是 2 cm/s，1 cm/s，问经过几秒后，$\triangle APQ$ 的面积是 $4$ $cm^{2}$？

答案： 8.经过2s或4s后，△APQ的面积是$4cm^2$

9. 【几何直观·抽象能力】如图，在$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 16$ $cm$，$BC = 8$ $cm$。一动点 $P$ 从点 $C$ 出发沿着 $CB$ 方向以 2 cm/s 的速度运动；另一动点 $Q$ 从点 $A$ 出发沿着 $AC$ 方向以 4 cm/s 的速度运动。$P$，$Q$ 两点同时出发，运动时间为 $t$ $s$。
(1)若$\triangle PCQ$ 的面积是$\triangle ABC$ 的面积的$\frac{1}{4}$，求 $t$ 的值。
(2)$\triangle PCQ$ 的面积能否与四边形 $ABPQ$ 的面积相等？若能，请求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由。

答案： 1. （1）
首先求$\triangle ABC$的面积：
已知在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 16cm$，$BC = 8cm$，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC$。
把$AC = 16$，$BC = 8$代入，得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×16×8 = 64cm^{2}$。
然后求$\triangle PCQ$的面积：
因为$CP = 2t$，$CQ=(16 - 4t)$，根据直角三角形面积公式$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}CP× CQ$，所以$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)$。
又因为$\triangle PCQ$的面积是$\triangle ABC$面积的$\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)=\frac{1}{4}×64$。
化简方程：
方程$\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)=\frac{1}{4}×64$，左边$\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)=t(16 - 4t)=16t-4t^{2}$，右边$\frac{1}{4}×64 = 16$，所以$16t-4t^{2}=16$。
整理得$t^{2}-4t + 4 = 0$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = t$，$b = 2$，则$(t - 2)^{2}=0$。
解得$t = 2$。
2. （2）
若$\triangle PCQ$的面积与四边形$ABPQ$的面积相等，则$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
由$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)$，$S_{\triangle ABC}=64$，可得$\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)=\frac{1}{2}×64$。
化简方程：
方程$\frac{1}{2}×2t×(16 - 4t)=32$，左边$t(16 - 4t)=16t-4t^{2}$，所以$16t-4t^{2}=32$。
整理得$t^{2}-4t + 8 = 0$。
然后判断方程根的情况：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-4$，$c = 8$，根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
则$\Delta=(-4)^{2}-4×1×8=16 - 32=-16\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以方程$t^{2}-4t + 8 = 0$无实数根。
所以：
(1) $t$的值为$2$；
(2) $\triangle PCQ$的面积不能与四边形$ABPQ$的面积相等，因为关于$t$的方程$t^{2}-4t + 8 = 0$无实数根。