《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

例 如图，在边长为 12 cm 的等边三角形 $ABC$ 中，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边向点 $B$ 以 1 cm/s 的速度移动，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边向点 $C$ 以 2 cm/s 的速度移动，若 $P$，$Q$ 两点分别从 $A$，$B$ 两点同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动。求经过几秒后$\triangle BPQ$ 的面积为 $10\sqrt{3}$ $cm^{2}$？

【思路分析】作 $QD\perp AB$ 于点 $D$，由勾股定理可以表示出 $DQ$，然后根据面积公式建立方程求出其解即可。

答案： 过点 $Q$ 作 $QD \perp AB$，垂足为点 $D$。
$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AB = BC = AC = 12 cm, \angle B = 60°$。
设经过 $x$ 秒后 $\triangle BPQ$ 的面积等于 $10\sqrt{3} cm^2$，
则 $AP = x cm$，$BQ = 2x cm$，
$\therefore PB = (12 - x) cm$。
$\because \angle B = 60°$，
$\therefore \angle BQD = 30°$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BQ = x cm$，
$\therefore DQ = \sqrt{BQ^2 - BD^2} = \sqrt{3}x cm$，
$\therefore S_{\triangle BPQ} = \frac{1}{2} × BP × DQ = \frac{1}{2} × (12 - x) × \sqrt{3}x = 10\sqrt{3}$，
化简得：
$x(12 - x) = 20$，
$x^2 - 12x + 20 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 10$（不合题意，舍去），
答：经过 $2$ 秒后，$\triangle BPQ$ 的面积为 $10\sqrt{3} cm^2$。

1. [2023 黑龙江]如图，在长为 100 m、宽为 50 m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 $3600$ $m^{2}$。设小路的宽是 $x$ $m$，则下列方程正确的是(C)

A.$(100 - x)(50 - x)=3600$
B.$(100 - 2x)(50 - x)=3600$
C.$(100 - 2x)(50 - 2x)=3600$
D.$(100 + 2x)(50 + 2x)=3600$

答案： 1.C

2. 一个正方形的边长增加 3 cm，它的面积就增加 $39$ $cm^{2}$，则这个正方形的边长为(A)

A.5 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

答案： 2.A

3. [2024 通辽]如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为 $15$ $m^{2}$，在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成)，则 $BC$ 长为(C)

A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m

答案： 3.C

4. 某学校准备建一个面积为 $200$ $m^{2}$ 的矩形花圃，它的长比宽多 10 m，则该矩形花圃的宽为10 m。

答案： 4.10

5. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 12$ $cm$，$BC = 16$ $cm$。点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$B$ 出发沿 $AC$，$BC$ 方向向终点 $C$ 匀速运动，其速度均为 2 cm/s。设运动时间为 $t$ $s$，则当$\triangle PCQ$ 的面积是$\triangle ABC$ 的面积的一半时，$t$ 的值为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 5.B

6. 如图，在 $Rt\triangle ACB$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 30$ $cm$，$BC = 25$ $cm$，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 方向运动，速度是 2 cm/s；同时，动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $BC$ 方向运动，速度是 1 cm/s，则经过10 s 后，$P$，$Q$ 两点之间相距 25 cm。

答案： 6.10