《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)在$b^{2}-4ac\geqslant$的条件下，它的根为：$x=$，这个式子叫作一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)的求根公式。运用一元二次方程的求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。

答案： 0；$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

例 用公式法解下列方程：
(1)$8x^{2}-2x - 3 = 0$；
(2)$2x^{2}=7 - 5x$；
(3)$x^{2}+3 = 2\sqrt{2}x$。
【思路分析】先化为一般形式，再利用公式法求解。

答案： 答题卡：
(1)方程$8x^{2}-2x - 3 = 0$，其中$a = 8$，$b = -2$，$c = -3$，
$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×8×(-3)=100\gt0$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{100}}{16}=\frac{2\pm10}{16}$，
$x_{1}=\frac{3}{4}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$。
(2)方程$2x^{2}=7 - 5x$化为一般形式为$2x^{2}+5x - 7 = 0$，
其中$a = 2$，$b = 5$，$c = -7$，
$b^{2}-4ac=5^{2}-4×2×(-7)=81\gt0$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{81}}{4}=\frac{-5\pm9}{4}$，
$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{7}{2}$。
(3)方程$x^{2}+3 = 2\sqrt{2}x$化为一般形式为$x^{2}-2\sqrt{2}x + 3 = 0$，
其中$a = 1$，$b = -2\sqrt{2}$，$c = 3$，
$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×3=-4\lt0$，
所以原方程没有实数根。

1. 用公式法解方程 $x^{2}-2=-3x$ 时，$a$，$b$，$c$ 的值依次是(B)

A.$0$，$-2$，$-3$
B.$1$，$3$，$-2$
C.$1$，$-3$，$-2$
D.$1$，$-2$，$-3$

答案： 1.B

2. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$ 能用公式法求解，那么必须满足的条件是(A)

A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\leqslant0$
C.$b^{2}-4ac＞0$
D.$b^{2}-4ac＜0$

答案： 2.A

3. 用公式法解方程 $2x^{2}+5x - 1 = 0$，所得解正确的是(A)

A.$x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$
B.$x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2}$
C.$x=\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}$
D.$x=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}$

答案： 3.A

4. $x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4×2×(-3)}}{2×2}$ 是下列哪个一元二次方程的根(C)

A.$2x^{2}+x - 3 = 0$
B.$x^{2}-2x - 3 = 0$
C.$2x^{2}-x - 3 = 0$
D.$x^{2}+2x - 3 = 0$

答案： 4.C

5. 方程 $2x^{2}-x - 3 = 0$ 中，$a=$2，$b=$-1，$c=$-3，$b^{2}-4ac=$25，两根是x₁=-1，x₂=3/2。

答案： 5.2 -1 -3 25 x₁=-1，x₂=3/2

6. 用公式法解下列方程：
（1）$[2023$ 无锡$]2x^{2}+x - 2 = 0$；
（2）$x^{2}-2\sqrt{2}x=\frac{1}{4}$。

答案： 6.（1）x₁=(-1+√17)/4，x₂=(-1-√17)/4；（2）x₁=(2√2+3)/2，x₂=(2√2-3)/2