《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

5. [2024沈阳模拟]如图，在$\triangle ABC$中，点$ D$，$ E$分别在$ AB$，$ AC$边上，且$ DE// BC$. 若$ AB = 6$，$ AD = 4$，则$\frac {AE}{EC}$的值为(D)

A.$\frac {3}{2}$
B.$\frac {1}{2}$
C.3
D.2

答案： 5.D

6. 如图，$ AB// CD$，$ AC$与$ BD$相交于点$ E$. 若$ AE = 1$，$ EC = 2$，$ DE = 3$，则$ BD$的长是4.5.

答案： 6.4.5

7. 在$\triangle ABC$中，$ AB = 6$，$ AC = 9$，$ P$是直线$ AB$上一点，且$ AP = 2$，过点$ P$作边$ BC$的平行线，交直线$ AC$于点$ M$，则$ MC$的长为6或12.

答案： 7.6或12

8. 如图，$ DE// BC$，$ EF// AB$. 若$ AD = 3$，$ BD = 4$，$ CF = 2$，则$ BF$的长为(A)

A.$\frac {3}{2}$
B.2
C.$\frac {5}{2}$
D.3

答案： 8.A

9. 如图，$ BE$是$\triangle ABC$的中线，点$ F$在$ BE$上，延长$ AF$交$ BC$于点$ D$. 若$ BF = 3FE$，则$\frac {BD}{DC}=$$\frac{3}{2}$.

答案： $9.\frac{3}{2}$

10. 如图，$ E$为$□ ABCD$的边$ CD$的延长线上一点，连接$ BE$交$ AC$于点$ O$，交$ AD$于点$ F$. 求证：$ BO^{2}=OF\cdot OE$.

答案：

证明：

∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AB// CD$，$AD// BC$。

∵$AB// CD$，

∴$\triangle AOB\backsim\triangle COE$，

∴$\frac{BO}{OE}=\frac{AO}{OC}$。

∵$AD// BC$，

∴$\triangle AOF\backsim\triangle COB$，

∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OF}{BO}$。

∴$\frac{BO}{OE}=\frac{OF}{BO}$，

∴$BO^{2}=OF\cdot OE$。

$11. 【$创新意识$】$请阅读以下材料，并解决相应的问题$.$　　
角平分线分线段成比例定理：如图$①，$在$\triangle ABC$中，$ AD$平分$\angle BAC，$则$\frac {AB}{AC}=\frac {BD}{CD}.$　　
下面是这个定理的部分证明过程$.$　　
证明：如图$②，$过点$ C$作$ CE// DA，$交$ BA$的延长线于点$ E.$　　
$……$　　
任务：$(1)$请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；　　
$(2)$如图$③，$在$ Rt\triangle ABC$中，$ AB = 3，$$ BC = 4，$$\angle ABC = 90^{\circ}，$$ AD$平分$\angle BAC，$则$\triangle ABD$的周长是　　$\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$　　$.$　　

答案： $(1)$ 证明过程
解：
$\because CE// DA$，
$\therefore\angle 1 = \angle E$（两直线平行，同位角相等），$\angle 2 = \angle ACE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore\angle 1 = \angle 2$。
$\therefore\angle E = \angle ACE$（等量代换）。
$\therefore AC = AE$（等角对等边）。
$\because CE// DA$，
$\therefore\triangle BAD\sim\triangle BEC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
$\therefore\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC}$（相似三角形对应边成比例），即$\frac{AB}{AB + AE}=\frac{BD}{BD + DC}$。
把$AE = AC$代入上式得：$\frac{AB}{AB + AC}=\frac{BD}{BD + DC}$，交叉相乘可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
$(2)$ 求$\triangle ABD$的周长
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，已知$AB = 3$，$BC = 4$，则$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，由角平分线分线段成比例定理$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，设$BD=x$，则$CD = 4 - x$，可得$\frac{3}{5}=\frac{x}{4 - x}$。
交叉相乘得：$3×(4 - x)=5x$，
即$12-3x = 5x$，
移项得$8x = 12$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
再根据勾股定理求$AD$，过$D$作$DE\perp AC$于$E$，因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$DE = BD=\frac{3}{2}$。
$AE = AB = 3$，则$CE=AC - AE=5 - 3 = 2$，在$Rt\triangle DEC$中，$DC = 4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，根据勾股定理$DE^{2}+CE^{2}=DC^{2}$（验证$DE$计算正确）。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{6 + 3+ 3\sqrt{5}}{2}=\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$上述证明过程；$(2)$$\boldsymbol{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}$ 。