《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 相似三角形对应高的比等于__________.

答案： 1.相似比

2. 相似三角形对应的角平分线的比等于__________.

答案： 2.相似比

3. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.

答案： 3.相似比

例 如图，一块材料的形状是锐角三角形 $ABC$，边 $BC = 120$ mm，高 $AD = 80$ mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $BC$ 上，其余两个顶点分别在 $AB$，$AC$ 上，这个正方形零件的边长是多少毫米？

【思路分析】由正方形的性质，得 $EF// BC$，可证 $\triangle AEF\backsim\triangle ABC$，再根据“相似三角形对应高的比等于相似比”，列方程求出 $x$ 的值.

答案： 设正方形零件的边长为 $x$ mm。
因为四边形$EGHF$为正方形，
所以$EF// BC$，
根据相似三角形的性质，若两三角形相似，则它们的对应边成比例，对应高也成比例，
由于$EF// BC$，
所以，$\triangle AEF\sim\triangle ABC$，
$AK$为$\triangle AEF$中$EF$边上的高，$AD$为$\triangle ABC$中$BC$边上的高，
则$\frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD}$，
已知$BC = 120$ mm，$AD = 80$ mm，
$EF$为正方形的一边，所以$EF = x$ mm，
$AK$为高$AD$与正方形上边$EF$的差，即$AK = AD - KD = 80 - x$，
代入比例式得：
$\frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$，
解这个方程，得到：
$80x = 120(80 - x)$，
$80x = 9600 - 120x$，
$200x = 9600$，
$x = 48$。
答：正方形零件的边长为$48$ mm。

1. 如果 $\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，且相似比为 $2:3$，那么它们对应边上的高之比为(A)

A.$2:3$
B.$4:9$
C.$3:5$
D.$9:4$

答案： 1.A

2. 如图，已知 $\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，$AD$，$BE$ 是 $\triangle ABC$ 的高，$A'D'$，$B'E'$ 是 $\triangle A'B'C'$ 的高，且 $AD = 6$，$BE = 9$，$A'D' = 4$，则 $B'E'=$6.

答案： 2.6

3. 两个相似三角形的对应高之比为 $3:1$，那么它们的对应角平分线之比为(B)

A.$1:3$
B.$3:1$
C.$1:4$
D.$1:8$

答案： 3.B

4. 如图，已知 $\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，$AM$，$DN$ 分别是 $\triangle ABC$，$\triangle DEF$ 的一条角平分线，且 $AB = 10$ cm，$DE = 5$ cm，$AM = 12$ cm，则 $DN=$6 cm.

答案： 4.6

5. 已知 $\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，$BD$ 和 $B'D'$ 是它们的对应中线.若 $\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$，则 $\frac{BD}{B'D'}$ 的值为(C)

A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 5.C

6. 如图，已知 $\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，$AB:DE = 1:2$，$M$，$N$ 分别是 $BC$，$EF$ 的中点，则 $AM:DN=$1:2.

答案： 6.1:2