《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

9. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = \sqrt{2}$，$BC = 1$，则$\angle A$的度数为(B)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： 9.B

10. 如图，以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，与射线$OA$交于点$B$，再以点$B$为圆心，$BO$的长为半径画弧，两弧交于点$C$，画射线$OC$，则$\sin\angle AOC$的值为(D)


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 10.D

11. 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(D)


A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： 11.D

12. 因为$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin210^{\circ}=-\frac{1}{2}$，所以$\sin210^{\circ}=\sin(180^{\circ}+30^{\circ})=-\sin30^{\circ}$；因为$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin225^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\sin225^{\circ}=\sin(180^{\circ}+45^{\circ})=-\sin45^{\circ}$.由此猜想：一般地，当$\alpha$为锐角时，有$\sin(180^{\circ}+\alpha)=-\sin\alpha$.由此可知$\sin240^{\circ}$的值为(C)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\sqrt{3}$

答案： 12.C

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 2\sqrt{6}$，$\angle B = 45^{\circ}$，求$\angle C$的度数.

答案： 13.∠C=60°

14. 【推理能力】（1）用计算器计算并验证$\sin25^{\circ}+\sin46^{\circ}$与$\sin71^{\circ}$之间的大小关系；
（2）若$\alpha,\beta,\alpha+\beta$都是锐角，猜想$\sin\alpha+\sin\beta$与$\sin(\alpha+\beta)$的大小关系；
（3）请借助下图证明（2）中的猜想.

答案： 1. （1）
用计算器计算：
$\sin25^{\circ}\approx0.4226$，$\sin46^{\circ}\approx0.7193$，则$\sin25^{\circ}+\sin46^{\circ}\approx0.4226 + 0.7193=1.1419$；
$\sin71^{\circ}\approx0.9455$。
所以$\sin25^{\circ}+\sin46^{\circ}＞\sin71^{\circ}$。
2. （2）
猜想：$\sin\alpha+\sin\beta＞\sin(\alpha + \beta)$。
3. （3）
解：
因为$\sin\alpha=\frac{AB}{OA}$，$\sin\beta=\frac{AC}{OA}$，$\sin(\alpha+\beta)=\frac{AE}{OA}$。
又因为$AB + BC＞AC$（三角形两边之和大于第三边），且$BC = EC$（矩形$BCEB$中$BC = EC$），$AE=AC - EC$。
所以$AB+AC＞AE$。
两边同时除以$OA$（$OA＞0$），得到$\frac{AB}{OA}+\frac{AC}{OA}＞\frac{AE}{OA}$。
即$\sin\alpha+\sin\beta＞\sin(\alpha+\beta)$。