《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

9. 已知$\angle A$为锐角，且$\cos A\leqslant\dfrac{1}{2}$，则$\angle A$的取值范围是(B)

A.$0^{\circ} ＜ \angle A\leqslant60^{\circ}$
B.$60^{\circ}\leqslant\angle A ＜ 90^{\circ}$
C.$0^{\circ} ＜ \angle A\leqslant30^{\circ}$
D.$30^{\circ} ＜ \angle A\leqslant90^{\circ}$

答案： 9.B

10. 已知在平面直角坐标系中，第一象限内射线$OA$与$x$轴正半轴的夹角为$\alpha$，点$P$在射线$OA$上. 如果$\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$，且$OP = 5$，那么点$P$的坐标是(B)

A.$(3,4)$
B.$(4,3)$
C.$(3,5)$
D.$(5,3)$

答案： 10.B

11. 如图，在$4×4$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为$1$，顶点为格点. 若$\triangle ABC$的顶点均在格点上，则$\cos\angle BAC$的值是(C)


A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
C.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$

答案： 11.C

12. 在$\triangle ABC$中，若$\vert 2\sin A - 1\vert + \left\vert\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos B\right\vert = 0$，则$\angle C =$$105^{\circ}$.

答案： 12.$105^{\circ}$

13. 在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC = 13$，$BC = 10$，则$\sin B =$$\frac{12}{13}$，$\cos B =$$\frac{5}{13}$.

答案： 13.$\frac{12}{13}$ $\frac{5}{13}$

14. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$CD\perp AB$于点$D$，$AC = 12$. 求：
(1)$\sin A$的值；
(2)$\cos\angle ACD$的值；
(3)$CD$的长.

答案： 14.
(1)$\sin A=\frac{5}{13}$
(2)$\cos\angle ACD=\frac{5}{13}$
(3)$CD=\frac{60}{13}$

15. 【几何直观】(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①$\sin30^{\circ}$=$2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}$；
②$\sin45^{\circ}$=$2\sin22.5^{\circ}\cos22.5^{\circ}$；
③$\sin60^{\circ}$=$2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}$；
④$\sin80^{\circ}$=$2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}$.
猜想：已知$0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 45^{\circ}$，则$\sin2\alpha$=$2\sin\alpha\cos\alpha$.
(2)如图①②，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，请根据图中给出的信息，利用面积方法证明(1)中的猜想.

答案： 1. （1）
①计算：
已知$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin15^{\circ}\approx0.2588$，$\cos15^{\circ}\approx0.9659$，则$2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}=2×0.2588×0.9659\approx0.5=\sin30^{\circ}$，所以$\sin30^{\circ}=2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}$。
②计算：
已知$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7071$，$\sin22.5^{\circ}\approx0.3827$，$\cos22.5^{\circ}\approx0.9239$，则$2\sin22.5^{\circ}\cos22.5^{\circ}=2×0.3827×0.9239\approx0.7071 = \sin45^{\circ}$，所以$\sin45^{\circ}=2\sin22.5^{\circ}\cos22.5^{\circ}$。
③计算：
已知$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.8660$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}=2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin60^{\circ}$，所以$\sin60^{\circ}=2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}$。
④计算：
已知$\sin80^{\circ}\approx0.9848$，$\sin40^{\circ}\approx0.6428$，$\cos40^{\circ}\approx0.7660$，则$2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}=2×0.6428×0.7660\approx0.9848=\sin80^{\circ}$，所以$\sin80^{\circ}=2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}$。
猜想：$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。
2. （2）证明：
图①：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE$，因为$AC = 1$，$\angle BAC = 2\alpha$，$BE=\sin2\alpha$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×1×\sin2\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha$。
图②：
$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AD$，因为$AB = AC = 1$，$\angle BAD=\alpha$，$BD=\sin\alpha$，$AD = \cos\alpha$，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\sin\alpha\cos\alpha$，则$S_{\triangle ABC}=2×\frac{1}{2}\sin\alpha\cos\alpha=\sin\alpha\cos\alpha$。
又因为图①和图②中$S_{\triangle ABC}$相等，所以$\frac{1}{2}\sin2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha$，即$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。
综上，（1）中①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；猜想$=$；（2）证明如上。