《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.

答案： 1.坐标原点

2. 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为$k$，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.

答案： 2.k

例1 在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的相似比等于$\frac{1}{2}$，并且是以原点$O$为位似中心的位似图形. 若点$A$的坐标为$(2,4)$，则其对应点$A_{1}$的坐标是____.
【思路分析】如果以坐标原点为位似中心，相似比为$\frac{1}{m}$，那么点$P(x,y)$的对应点的坐标为$(mx,my)$或$(-mx,-my)$.

答案： 因为以原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{1}{2}$，点$A$的坐标为$(2,4)$。
当位似图形在位似中心同侧时，对应点$A_1$的坐标为$(2×2,4×2)=(4,8)$；
当位似图形在位似中心两侧时，对应点$A_1$的坐标为$(2×(-2),4×(-2))=(-4,-8)$。
$(4,8)$或$(-4,-8)$

例2 在如图所示的平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的三个顶点坐标分别为$A(-3,2)$，$B(-1,3)$，$C(-1,1)$，以坐标原点$O$为位似中心，在$x$轴下方，画出$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，使它与$\triangle ABC$的相似比为$2:1$.
【思路分析】利用位似的性质，找出点$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$的位置，连线画出图形即可.

答案：
△A₁B₁C₁即为所求作。

1. [2024浙江]如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是位似图形，位似中心为点$O$. 若点$A(-3,1)$的对应点为$A'(-6,2)$，则点$B(-2,4)$的对应点$B'$的坐标为 (A)

A.$(-4,8)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$
D.$(4,-8)$

答案： 1.A

2. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$的顶点为$O(0,0)$，$A(4,3)$，$B(3,0)$. 以点$O$为位似中心，在第三象限内作与$\triangle OAB$的位似比为$-\frac{1}{3}$的位似图形$\triangle OCD$，则点$C$的坐标为 (B)

A.$(-1,-1)$
B.$(-\frac{4}{3},-1)$
C.$(-1,-\frac{4}{3})$
D.$(-2,-1)$

答案： 2.B

3. 如图，在平面直角坐标系中，将$\triangle OAB$以原点$O$为位似中心放大后得到$\triangle OCD$. 若$B(0,1)$，$D(0,3)$，则$\triangle OAB$与$\triangle OCD$的位似比是 (D)

A.$2:1$
B.$1:2$
C.$3:1$
D.$1:3$

答案： 3.D

4. [2023辽宁]如图，在平面直角坐标系中，四边形$OABC$的顶点坐标分别是$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(2,3)$，$C(-1,2)$. 若四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$关于原点$O$位似，且四边形$OA'B'C'$的面积是四边形$OABC$面积的$4$倍，则第一象限内点$B'$的坐标为(4,6).

答案： 4.(4,6)