《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

对于二次项系数不是1，或者方程也不是一般形式的情况，在配方前先把原方程化成一般形式，再把二次项系数化为1，然后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里(配方)，最后将配方后的一元二次方程运用平方根的意义求解。

答案： 1 一次项系数一半的平方 减去

例 用配方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-8x + 1 = 0$；
(2)$3x^{2}+5x - 2 = 0$。
【思路分析】先将二次项系数化为1，再按照用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法求解。

答案：
(1)
方程$2x^{2}-8x + 1 = 0$，二次项系数化为$1$：
$x^{2}-4x+\frac{1}{2}=0$
移项得$x^{2}-4x=-\frac{1}{2}$
配方：$x^{2}-4x + 4=-\frac{1}{2}+4$
即$(x - 2)^{2}=\frac{7}{2}$
开平方得$x - 2=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$
解得$x_{1}=2+\frac{\sqrt{14}}{2},x_{2}=2-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(2)
方程$3x^{2}+5x - 2 = 0$，二次项系数化为$1$：
$x^{2}+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0$
移项得$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$
配方：$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$
即$(x+\frac{5}{6})^{2}=\frac{49}{36}$
开平方得$x+\frac{5}{6}=\pm\sqrt{\frac{49}{36}}=\pm\frac{7}{6}$
当$x+\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$时，$x=\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}$
当$x+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$时，$x=-\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=-2$
解得$x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=-2$

1. 用配方法解一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$，配方正确的是(A)

A.$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{17}{16}$
B.$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{2}$
C.$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{13}{4}$
D.$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{11}{4}$

答案： 1.A

2. 若用配方法将一元二次方程$\frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}=0$转化为$\frac{1}{2}(x + m)^{2}+n = 0$的形式，则$m + n$的值是(C)

A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$

答案： 2.C

3. 在解方程$2x^{2}+4x + 1 = 0$时，对方程进行配方，图①是小思做的，图②是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是(A)
$2x^{2}+4x=-1$，
$x^{2}+2x=-\frac{1}{2}$，
$x^{2}+2x+1=-\frac{1}{2}+1$，
$(x + 1)^{2}=\frac{1}{2}$。
$2x^{2}+4x=-1$，
$4x^{2}+8x=-2$，
$4x^{2}+8x+4=-2+4$，
$(2x + 2)^{2}=2$。

A.两人都正确
B.小思正确，小博不正确
C.小思不正确，小博正确
D.两人都不正确

答案： 3.A

4. 用配方法将下列各式化成$a(x + m)^{2}+n$的形式：
(1)$3x^{2}+12x=$$3(x + 2)^2 - 12$；
(2)$2x^{2}+5x + 7=$$2(x + \frac{5}{4})^2 + \frac{31}{8}$。

答案： 4.
(1)$3(x + 2)^2 - 12$
(2)$2(x + \frac{5}{4})^2 + \frac{31}{8}$

5. 方程$2x^{2}-x - 15 = 0$的解是$x_1 = 3,x_2 = -\frac{5}{2}$。

答案： 5.$x_1 = 3,x_2 = -\frac{5}{2}$