《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

解一元二次方程的方法有：(1)平方根的意义法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.

答案： 公式 因式分解

例 选择合适的方法解下列方程：
(1)$(x - 5)^2 = 16$；
(2)$x^2 - 4x - 285 = 0$；
(3)$(x - 3)^2 - 4x(3 - x) = 0$；
(4)$3x^2 + 2x = 4$.
【思路分析】(1)用平方根的意义法解；(2)用配方法解；(3)用因式分解法解；(4)用公式法解.

答案：
(1)
$\because(x - 5)^2 = 16$，
根据平方根的定义，
$\therefore x - 5 = \pm 4$，
当$x - 5 = 4$时，$x_1 = 9$；
当$x - 5 = -4$时，$x_2 = 1$。
(2)
对于$x^2 - 4x - 285 = 0$，
配方得$x^2 - 4x + 4 - 4 - 285 = 0$，
即$(x - 2)^2 = 289$，
根据平方根的定义，
$\therefore x - 2 = \pm 17$，
当$x - 2 = 17$时，$x_1 = 19$；
当$x - 2 = -17$时，$x_2 = -15$。
(3)
原方程$(x - 3)^2 - 4x(3 - x) = 0$可化为$(x - 3)^2 + 4x(x - 3) = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x - 3 + 4x) = 0$，
即$(x - 3)(5x - 3) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$或$5x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{3}{5}$。
(4)
原方程$3x^2 + 2x = 4$可化为$3x^2 + 2x - 4 = 0$，
$\because a = 3$，$b = 2$，$c = -4$，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×3×(-4)= 52\gt 0$，
根据求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
$\therefore x = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2×3}=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{3}$，
$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{3}$。

1. 解方程$(x - 3)^2 = 4$，最合适的方法是(A)

A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答案： 1.A

2. [2024株洲模拟]解方程$(5x - 1)^2 = 3(5x - 1)$的适当方法是(D)

A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答案： 2.D

3. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(B)

A.$(x - 2)(x + 5) = 2$
B.$(x - 2)^2 = x - 2$
C.$x^2 + 5x - 2 = 0$
D.$12(2 - x)^2 = 3$

答案： 3.B

4. 一元二次方程$x(x - 3) = x - 3$的解是(B)

A.$x = - 1$
B.$x_1 = 1,x_2 = 3$
C.$x_1 = - 1,x_2 = 3$
D.$x = 3$

答案： 4.B

5. 用公式法解$3x^2 - 7x + 1 = 0$的正确结果是(D)

A.$x = \frac{7 + \sqrt{37}}{3}$
B.$x = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$
C.$x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{3}$
D.$x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{6}$

答案： 5.D

6. 已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上.
①$2(x - 1)^2 = 6$；②$(x - 2)^2 + x^2 = 4$；③$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 5 = 0$；④$x^2 - 2x - 1 = 0$；⑤$x^2 - 2x - 99 = 0$.
(1)直接开平方法：①；
(2)配方法：④⑤；
(3)公式法：③；
(4)因式分解法：②.

答案： 6.
(1)①
(2)④⑤
(3)③
(4)②