《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

7. 解下列方程：
(1)$(x - 1)^2 = 9$；
(2)$x^2 - 10x + 18 = 0$；
(3)$2x^2 + 1 = \sqrt{10}x$；
(4)$(2x + 1)^2 = 3(2x + 1)$.

答案： $7.(1)x_1=4,x_2=-2$
$(2)x_1=5+\sqrt{7},x_2=5-\sqrt{7}$
$(3)x_1=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4},x_2=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4}$
$(4)x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$

8. 已知$x$为实数，且满足$(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0$，那么$x^2 + x + 1$的值为(A)

A.1
B.- 3
C.- 3或1
D.- 1或3

答案： 8.A

9. 当$x =$0或3时，代数式$x^2 - 6$与$6 - 3x$的值互为相反数.

答案： 9.0或3

10. 若一元二次方程$x^2 - 14x + 48 = 0$的两个根分别是矩形$ABCD$的相邻两边长，如图所示，则该矩形的对角线的长为10.

答案： 10.10

11. 定义新运算：对于任意实数$a,b$，都有$a \oplus b = a^2 - 2ab$，其中等号右边是通常的减法及乘法运算. 如$1 \oplus 1 = 1^2 - 2× 1× 1 = - 1$. 嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：$x \oplus (- 3) = - 5$，其中$x$的值为-1或-5.

答案： 11.-1或-5

12. 【创新意识】阅读下列材料，解答问题：
解方程：$(2x - 5)^2 + (3x + 7)^2 = (5x + 2)^2$.
解：设$m = 2x - 5,n = 3x + 7$，
则$m + n = 5x + 2$.
$\therefore$原方程可化为$m^2 + n^2 = (m + n)^2$，
整理，得$mn = 0$，
即$(2x - 5)(3x + 7) = 0$，
解得$x_1 = \frac{5}{2},x_2 = - \frac{7}{3}$.
请利用上述方法解方程：$(4x - 5)^2 + (3x - 2)^2 = (x - 3)^2$.

答案： $12.x_1=\frac{5}{4},x_2=\frac{2}{3}$