《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

如图，已知点$P(x,y)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$上的任意一点，过点$P$作$PB\perp x$轴于点$B$，$PC\perp y$轴于点$C$，则$S_{矩形PBOC}=$$\vert k\vert$，$S_{\triangle OPC}=$$\frac{1}{2}\vert k\vert$.

答案： $\vert k\vert$ $\frac{1}{2}\vert k\vert$

例 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$与正比例函数$y=mx(m\neq0)$的图象交于点$A(-1,2)$和点$B$，点$C$是点$A$关于$y$轴的对称点，连接$AC$，$BC$.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出关于$x$的不等式$\frac{k}{x}\lt mx$的解集.

【思路分析】
(1)把点$A(-1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$可得$k$的值，求得反比例函数的表达式；(2)根据对称性求得点$B$，$C$的坐标，然后利用三角形的面积公式可求解；(3)根据图象得出关于$x$的不等式$\frac{k}{x}\lt mx$的解集即可.

答案：
(1) 将点 $A(-1,2)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $2=\frac{k}{-1}$，解得 $k=-2$。
反比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{x}$。
(2) 反比例函数与正比例函数 $y=mx$ 交于点 $A(-1,2)$ 和点 $B$。
由对称性，点 $B$ 的坐标为 $(1,-2)$。
点 $C$ 是点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点，故 $C(1,2)$。
$AC=2$，$BC=4$，且 $AC \perp BC$。
$\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
(3) 观察图象，不等式 $\frac{k}{x} ＜ mx$ 的解集为 $x ＜ -1$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$。

1. [2024郑州模拟]如图，点$B$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x\gt0)$的图象上，过点$B$分别向$x$轴，$y$轴作垂线，垂足分别为$A$，$C$，则矩形$OABC$的面积为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.C

2. 如图，$A$为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$图象上的一点，$AB\perp x$轴于点$B$. 若$S_{\triangle AOB}=3$，则$k$的值为(D)

A.1.5
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.6

答案： 2.D

3. [2024西宁]如图，在平面直角坐标系中，菱形$ABCO$的顶点$O$是坐标原点，顶点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0,x\lt0)$的图象上，对角线$OB$在$x$轴上. 若菱形$ABCO$的面积是$8\sqrt{2}$，则$k$的值为(B)

A.$4\sqrt{2}$
B.$-4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$

答案： 3.B

4. 正比例函数$y=-6x$的图象与反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象的交点位于(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限

答案： 4.D

5. [2024安徽]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$与一次函数$y=2-x$的图象的一个交点的横坐标为$3$，则$k$的值为(A)

A.$-3$
B.$-1$
C.1
D.3

答案： 5.A