《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

5. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路.已知AB=14 km，BC=42 km，CD=31.5 km，AD=28 km，BD=21 km，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

答案：

解：AB//CD，理由如下：

∵AB=14km，AD=28km，BD=21km，BC=42km，CD=31.5km，

∴$\frac{AB}{CD}=\frac{14}{31.5}=\frac{4}{9}$，$\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$，$\frac{BD}{BD}=\frac{21}{21}=1$，

$\frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$，$\frac{BD}{CD}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$，

∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}$，

又
∵∠ABD=∠BDC，

∴△ABD∽△BDC，

∴∠ABD=∠BDC，

∴AB//CD.

6. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是(C)

答案： 6.C

7. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$.
(1)试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由.

答案： 1. （1）
解：$\angle BAE=\angle CAD$。
理由：在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，因为$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，根据“三边成比例的两个三角形相似”，所以$\triangle ABC\sim\triangle AED$。
那么$\angle BAC = \angle EAD$，即$\angle BAC-\angle EAF=\angle EAD - \angle EAF$，所以$\angle BAE=\angle CAD$。
2. （2）
解：$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。
理由：由（1）知$\angle BAE=\angle CAD$，又因为$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，所以$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。

8. 【推理能力】如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在网格点上.
(1)在AB上找出一点P，连接PC，使得△BCP∽△BAC；
(2)利用“三边成比例的两个三角形相似”证明(1)中的结论.

答案：
8.
(1)在AB上找出一点P,连接PC,使得△BCP∽△BAC，如图所示

(2)证明略