《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 在直角三角形中，锐角$\alpha$的______与______的比叫作角$\alpha$的正切，记作______，即$\tan\alpha=$______。

答案： 1.对边 邻边 $\tan \alpha$ $\frac{角\alpha 的对边}{角\alpha 的邻边}$

2. $\tan30^{\circ}=$______，$\tan45^{\circ}=$______，$\tan60^{\circ}=$______。

答案： 2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1 $\sqrt{3}$

例1 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 2$，求$\sin A$，$\cos A$，$\tan A$的值。

【思路分析】先根据勾股定理求出斜边$AB$的长，再根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可。

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 2$。
根据勾股定理：
$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
综上，$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan A = \frac{1}{2}$。

例2 计算：$\tan30^{\circ}\cdot\tan60^{\circ}-\tan45^{\circ}$。
【思路分析】将$\tan30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45^{\circ} = 1$，$\tan60^{\circ} = \sqrt{3}$代入计算即可。

答案： 答题卡：
原式 $= \tan30^{\circ} \cdot \tan60^{\circ} - \tan45^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{3} × \sqrt{3} - 1$
$= 1 - 1$
$= 0$

1. [2024云南]如图，在$\triangle ABC$中，若$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，则$\tan A =$(C)


A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$

答案： 1.C

2. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$\tan B = \dfrac{4}{3}$，则$BC$的长为(A)

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

答案： 2.A

3. $\tan45^{\circ}$的值为(B)

A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 3.B

4. 计算：$3\tan30^{\circ}-\tan60^{\circ}=$0。

答案： 4.0

5. 计算：$\tan36^{\circ}\approx$0.7265(精确到$0.0001$)。

答案： 5.0.7265

6. 已知$\tan\alpha = 1.5282$，则$\alpha\approx$56.8°(精确到$0.1^{\circ}$)。

答案： 6.56.8°

7. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AB = 3$，则下列结论正确的是(D)


A.$\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$\tan A = \dfrac{1}{3}$
C.$\cos B = 3$
D.$\tan B = 2\sqrt{2}$

答案： 7.D

8. 式子$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}$的值是(A)

A.$0$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$-2$

答案： 8.A