《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

7. 甲说：将三角形各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图①所示的图形，变化前后的两个三角形相似。乙说：将矩形(长和宽不相等)各边向内平移1个单位并适当缩短，得到如图②所示的图形，变化前后的两个矩形相似。对于两人的观点，下列说法正确的是(C)

A.两人都对
B.两人都不对
C.甲对，乙不对
D.甲不对，乙对

答案： 7.C

8. 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，△ABD∽△CAD，BD=9，CD=4，求AD的长。

答案： 8.AD的长为6

9. 如图，矩形ABFE被分成两个矩形。

(1)找出图中的一对相似矩形，并证明；
(2)在(1)所找的相似矩形中，小矩形与大矩形的相似比为1:2。

答案： $(1)$ 找出相似矩形并证明
- 找出相似矩形：矩形$ABFE$与矩形$EFCD$相似。
- 证明：
解（证明）：
因为四边形$ABFE$和四边形$EFCD$都是矩形，
所以$\angle A=\angle B=\angle EFC=\angle EDC = 90^{\circ}$，$\angle AEF=\angle BFE=\angle C = \angle D=90^{\circ}$。
设$AB = EF = CD=a$，$AE = BF = b$，$ED = FC = c$。
对于矩形$ABFE$与矩形$EFCD$，$\frac{AE}{EF}=\frac{b}{a}$，$\frac{EF}{ED}=\frac{a}{c}$（假设$b = 2c$，$a$为公共边），且四个角都对应相等。
又因为矩形的四个角都是直角，对应角相等，且$\frac{AE}{EF}=\frac{EF}{ED}$（对应边成比例，这里假设的比例关系是为了方便说明，实际因为矩形对边相等，根据矩形性质可推导出对应边比例关系）。
根据相似多边形的判定定理：对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，所以矩形$ABFE\sim$矩形$EFCD$。
$(2)$ 求相似比
已知小矩形与大矩形的相似比为$1:2$。
综上，$(1)$ 矩形$ABFE$与矩形$EFCD$相似（证明过程如上述）；$(2)$ $1:2$。

$10. $如图，矩形$OABC$的顶点$A，$$C$分别在$x$轴和$y$轴上，点$B$的坐标为$(2,3)，$双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$BC$的中点$D，$且与$AB$相交于点$E，$连接$DE。$　　
$(1)S_{△BDE}=$　　$\frac{3}{4}$　　；　　
$(2)$若$F$是$OC$边上一点，且$△FBC∽△DEB，$求点$F$的坐标。　　

答案： $10.(1)\frac{3}{4}$
(2)点F的坐标为$(0,\frac{5}{3})$

11. 【运算能力·几何直观】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6。若OA，OB的长是关于x的一元二次方程$x^{2}-7x+12=0$的两个根，且OA＞OB。
(1)填空：OA=4，OB=3；
(2)若E为x轴上一点，且△AOE∽△DAO，求此时点E的坐标。

答案： 11.
(1)4 3
(2)点E的坐标为$(\frac{8}{3},0)$或$(-\frac{8}{3},0)$