《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 如图，已知$\angle 1=\angle 2$，$\angle F=\angle C$。
(1) 求证：$\triangle ABC\backsim\triangle AEF$；
(2) 若$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$，$AC = 6$，求$AF$的长。

答案： 1. （1）
证明：
因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle 1+\angle BAF=\angle 2+\angle BAF$，即$\angle BAC=\angle EAF$。
又因为$\angle F = \angle C$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\backsim\triangle AEF$（$\angle BAC=\angle EAF$，$\angle C=\angle F$）。
2. （2）
解：
因为$\triangle ABC\backsim\triangle AEF$，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$。
已知$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$，$AC = 6$，设$AF=x$，则$\frac{2}{5}=\frac{x}{6}$。
交叉相乘可得$5x=2×6$，即$5x = 12$。
解得$x=\frac{12}{5}$。
所以$AF$的长为$\frac{12}{5}$。

2. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是边$AB$上的中线，过点$C$作$CD$的垂线交$AB$的延长线于点$E$，$BF\perp CE$于点$F$。求证：
(1) $BC$平分$\angle ABF$；
(2) $BC^{2}=2BF\cdot BD$。

答案：

(1)证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是边$AB$上的中线，

$\therefore CD = AD = BD$，

$\therefore \angle ACD=\angle A$，$\angle BCD=\angle ABC$，

$\because CE\perp CD$，

$\therefore \angle DCE = 90^{\circ}$，

$\therefore \angle BCE=90^{\circ}-\angle BCD=90^{\circ}-\angle ABC$，

$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，

$\therefore \angle A+\angle ABC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle A=90^{\circ}-\angle ABC$，

$\therefore \angle BCE=\angle A$，

$\because BF\perp CE$，

$\therefore \angle BFC = 90^{\circ}$，

$\therefore \angle FBC=90^{\circ}-\angle BCE=90^{\circ}-\angle A$，

$\because \angle ABC=90^{\circ}-\angle A$，

$\therefore \angle FBC=\angle ABC$，

$\therefore BC$平分$\angle ABF$；

(2)证明：由
(1)知$\angle FBC=\angle ABC$，$\angle BFC=\angle ACB = 90^{\circ}$，

$\therefore \triangle BFC\sim\triangle BCA$，

$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BC}{AB}$，

$\therefore BC^{2}=BF\cdot AB$，

$\because CD$是边$AB$上的中线，

$\therefore AB = 2BD$，

$\therefore BC^{2}=2BF\cdot BD$。

3. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$为边$AD$的中点，且$DF:CF = 1:3$，连接$EF$并延长交$BC$的延长线于点$G$，
(1) 求证：$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$；
(2) 若正方形的边长为$4$，求$BG$的长。

答案： 1. （1）证明$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$：
已知四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = AD=CD$。
因为$E$为边$AD$的中点，所以$AE = DE=\frac{1}{2}AD$，则$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$。
又因为$DF:CF = 1:3$，所以$DF=\frac{1}{4}CD$，而$AB = CD$，$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}CD$，那么$\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{1}{4}CD}{\frac{1}{2}CD}=\frac{1}{2}$。
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}$，且$\angle A=\angle D$。
根据三角形相似判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$。
2. （2）求$BG$的长：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD// BC$，则$\triangle DEF\backsim\triangle CGF$。
由$DF:CF = 1:3$，设$DF = x$，$CF = 3x$，则$CD=DF + CF=4x$，因为正方形边长$CD = 4$，所以$x = 1$，$DF = 1$，$CF = 3$，$DE=\frac{1}{2}AD = 2$。
因为$\triangle DEF\backsim\triangle CGF$，所以$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG = 6$。
又因为$BC = 4$，所以$BG=BC + CG$。
把$BC = 4$，$CG = 6$代入可得$BG=4 + 6=10$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$；（2）$BG$的长为$10$。

4. 如图，四边形$ABCD$是菱形，$M$是$BC$上一点，连接$AM$交对角线$BD$于点$G$，且$\angle ABC = 2\angle BAM$。
(1) 求证：$AG = BG$；
(2) 若$M$为$BC$的中点，且$S_{\triangle BGM}=1$，求$\triangle ADG$的面积。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BD$平分$\angle ABC$，即$\angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC$。
已知$\angle ABC = 2\angle BAM$，则$\angle ABD=\angle BAM$。
根据等角对等边，在$\triangle ABG$中，可得$AG = BG$。
2. （2）
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD// BC$，则$\triangle ADG\sim\triangle MBG$。
因为$M$为$BC$的中点，所以$\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{\triangle BGM}}{S_{\triangle ADG}}=(\frac{BM}{AD})^2$。
已知$S_{\triangle BGM}=1$，$(\frac{BM}{AD})^2 = (\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，则$S_{\triangle ADG}=4$。
综上，（1）得证$AG = BG$；（2）$\triangle ADG$的面积为$4$。