《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

5. [2023 滨州]如图，直线 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数）与双曲线 $ y = \frac{m}{x} $（$ m $ 为常数）相交于 $ A(2,a) $，$ B(-1,2) $ 两点。
（1）求直线 $ y = kx + b $ 的表达式；
（2）在双曲线 $ y = \frac{m}{x} $ 上任取两点 $ M(x_1,y_1) $ 和 $ N(x_2,y_2) $，若 $ x_1 ＜ x_2 $，试确定 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 的大小关系，并写出判断过程；
（3）结合图象，请直接写出关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ＞ \frac{m}{x} $ 的解集。

答案： 1. （1）
首先求双曲线$y = \frac{m}{x}$中的$m$：
因为点$B(-1,2)$在双曲线$y=\frac{m}{x}$上，将$x = - 1$，$y = 2$代入$y=\frac{m}{x}$，根据$y=\frac{m}{x}$可得$m=xy$，所以$m=-1×2=-2$，则双曲线的表达式为$y =-\frac{2}{x}$。
又因为点$A(2,a)$在双曲线$y =-\frac{2}{x}$上，将$x = 2$代入$y =-\frac{2}{x}$，得$a=-\frac{2}{2}=-1$，所以$A(2,-1)$。
然后求直线$y = kx + b$的表达式：
把$A(2,-1)$，$B(-1,2)$代入$y = kx + b$，得到方程组$\begin{cases}2k + b=-1\\-k + b=2\end{cases}$。
用第一个方程$2k + b=-1$减去第二个方程$-k + b=2$：
$(2k + b)-(-k + b)=-1 - 2$，即$2k + b + k - b=-3$。
合并同类项得$3k=-3$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代入$-k + b=2$，得$-(-1)+b=2$，即$1 + b=2$，解得$b = 1$。
所以直线的表达式为$y=-x + 1$。
2. （2）
因为双曲线$y =-\frac{2}{x}$中$m=-2\lt0$，所以双曲线$y =-\frac{2}{x}$在第二、四象限，且在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。
当$x_{1}\lt x_{2}\lt0$时，$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$在第二象限，所以$y_{1}\lt y_{2}$；
当$0\lt x_{1}\lt x_{2}$时，$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$在第四象限，所以$y_{1}\lt y_{2}$；
当$x_{1}\lt0\lt x_{2}$时，$y_{1}=-\frac{2}{x_{1}}\gt0$，$y_{2}=-\frac{2}{x_{2}}\lt0$，所以$y_{1}\gt y_{2}$。
3. （3）
不等式$kx + b\gt\frac{m}{x}$的解集就是直线$y = kx + b$的图象在双曲线$y=\frac{m}{x}$图象上方时$x$的取值范围。
由图象可知，解集为$x\lt - 1$或$0\lt x\lt2$。
综上，（1）直线表达式为$y=-x + 1$；（2）当$x_{1}\lt x_{2}\lt0$或$0\lt x_{1}\lt x_{2}$时，$y_{1}\lt y_{2}$；当$x_{1}\lt0\lt x_{2}$时，$y_{1}\gt y_{2}$；（3）解集为$x\lt - 1$或$0\lt x\lt2$。

6. [2024 雅安]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 $ l $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ M(\frac{1}{2},4) $，$ N(n,1) $ 两点。
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求 $ \triangle OMN $ 的面积；
（3）若 $ P $ 是 $ y $ 轴上一动点，连接 $ PM $，$ PN $。当 $ PM + PN $ 的值最小时，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 6.
(1)反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$,一次函数的表达式为$y=-2x+5$
(2)$S_{\triangle OMN}=\frac{15}{4}$
(3)$P(0,\frac{17}{5})$