《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 在直角三角形中，锐角$\alpha$的邻边与斜边的比叫作角$\alpha$的余弦，记作$\cos\alpha$，即$\cos\alpha=$角$\alpha$的邻边/斜边.

答案： 1.邻边 斜边 角$\alpha$的邻边 斜边

2. 对于任意的锐角$\alpha$：$\cos\alpha=\sin$______，$\sin\alpha=\cos$______.

答案： 2.$(90^{\circ}-\alpha)$ $(90^{\circ}-\alpha)$

3. $\cos30^{\circ}=$______，$\cos45^{\circ}=$______，$\cos60^{\circ}=$______.

答案： 3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$

例1 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$AB = 4$，求$\cos B$的值.

思路分析 先根据勾股定理求$BC$，再根据余弦值的定义求得$\cos B$.

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90{°}$，$AC = 3$，$AB = 4$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}$
根据余弦定义：
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
综上，$\cos B = \frac{\sqrt{7}}{4}$。

例2 计算：$\sin60^{\circ}\cdot\sin45^{\circ} - \cos30^{\circ}\cdot\cos45^{\circ}$.
思路分析 将特殊角的三角函数值代入计算即可.

答案： 答题卡：
原式 $= \sin60^{\circ} \cdot \sin45^{\circ} - \cos30^{\circ} \cdot \cos45^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$
$= 0$

1. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$BC = 5$，则$\cos A$的值是(D)

A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{5}{12}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{12}{13}$

答案： 1.D

2. [2024 郴州模拟]如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\cos A = \dfrac{2}{3}$，$BC = 5$，则$AB$的长为(D)

A.$2$
B.$3$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{5}$

答案： 2.D

3. 计算：$\cos45^{\circ}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$4\cos^{2}30^{\circ}=$3.

答案： 3.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 3

4. 已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\cos A = \dfrac{1}{2}$，则$\angle B =$$30^{\circ}$.

答案： 4.$30^{\circ}$

5. 若$\alpha$是锐角，且$\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$，则$\cos(90^{\circ} - \alpha)=$(A)

A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{1}{5}$

答案： 5.A

6. 计算：$\cos42^{\circ}\approx$0.7431(精确到$0.0001$).

答案： 6.0.7431

7. 若$\cos\alpha = 0.3245$，则$\alpha\approx$$71.1^{\circ}$(精确到$0.1^{\circ}$).

答案： 7.$71.1^{\circ}$

8. 计算：
(1)$2\sqrt{3}\cdot\cos30^{\circ} - 2\sqrt{2}\cdot\cos45^{\circ} - 4\cos60^{\circ}$；
(2)$\cos^{2}45^{\circ} + 2\cos^{2}60^{\circ} - \dfrac{2}{3}\cos^{2}30^{\circ}$.

答案： 8.
(1)$-1$
(2)$\frac{1}{2}$