《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

变形 4 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - (m + 6)x + 3m + 9 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 求证: 该一元二次方程总有两个实数根;
(2) 若 $ n = x_{1} + x_{2} - 4 $, 判断动点 $ P(m,n) $ 所形成的函数图象是否经过点 $ Q(5,6) $, 并说明理由.

答案： $(1)$ 证明该一元二次方程总有两个实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(m + 6)x + 3m + 9 = 0$中，$a = 1$，$b=-(m + 6)$，$c = 3m + 9$。
则$\Delta =[-(m + 6)]^{2}-4×1×(3m + 9)$
$=m^{2}+12m + 36-(12m + 36)$
$=m^{2}+12m + 36 - 12m - 36$
$=m^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$m^{2}\geq0$，也就是$\Delta\geq0$。
所以该一元二次方程总有两个实数根。
$(2)$ 判断动点$P(m,n)$所形成的函数图象是否经过点$Q(5,6)$
- 步骤一：根据韦达定理求$x_{1}+x_{2}$的值
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$。
在方程$x^{2}-(m + 6)x + 3m + 9 = 0$中，$a = 1$，$b=-(m + 6)$，所以$x_{1}+x_{2}=m + 6$。
- 步骤二：求$n$关于$m$的函数关系式
已知$n=x_{1}+x_{2}-4$，把$x_{1}+x_{2}=m + 6$代入可得：$n=(m + 6)-4=m + 2$。
- 步骤三：判断点$Q(5,6)$是否在函数$n=m + 2$的图象上
把$m = 5$代入$n=m + 2$得：$n=5 + 2=7\neq6$。
所以动点$P(m,n)$所形成的函数图象不经过点$Q(5,6)$。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$ 动点$P(m,n)$所形成的函数图象不经过点$Q(5,6)$。

五、与几何知识的综合运用
变形 5 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 5 = 0 $ 的两个实数根.
(1) 若 $ (x_{1} - 1)(x_{2} - 1) = 28 $, 求 $ m $ 的值;
(2) 已知等腰 $ \triangle ABC $ 的一边长为 7, 若 $ x_{1},x_{2} $ 恰好是 $ \triangle ABC $ 另外两边的边长, 求这个三角形的周长.

答案：
(1)m 的值为 6
(2)这个三角形的周长为 17