《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

9. 【新定义】如果一个等腰三角形的顶角为 $36^{\circ}$，那么可求其底边与腰之比等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形。如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 1$，$\angle A = 36^{\circ}$，$\triangle ABC$ 看作第一个黄金三角形；作 $\angle ABC$ 的平分线 $BD$，交 $AC$ 于点 $D$，$\triangle BCD$ 看作第二个黄金三角形；作 $\angle BCD$ 的平分线 $CE$，交 $BD$ 于点 $E$，$\triangle CDE$ 看作第三个黄金三角形……以此类推，第 $2025$ 个黄金三角形的腰长是(A)

A.$(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^{2024}$
B.$(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^{2025}$
C.$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^{2024}$
D.$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^{2025}$

答案： 9.A

10. 如图，已知矩形 $ABCD$ 和矩形 $A'B'C'D'$，$AB = 8\mathrm{cm}$，$BC = 12\mathrm{cm}$，$A'B' = 4\mathrm{cm}$，$B'C' = 6\mathrm{cm}$。
(1) 求 $\frac{A'B'}{AB}$ 和 $\frac{B'C'}{BC}$ 的值。
(2) 线段 $A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$ 是成比例线段吗？

答案： $10.(1)\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2},\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$
(2)线段A'B',AB,B'C',BC是成比例线段

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，垂足为点 $D$。已知 $AC = 3$，$BC = 4$，请问线段 $AD$，$CD$，$AC$，$BC$ 是否是成比例线段？并说明理由。

答案： 线段$AD$，$CD$，$AC$，$BC$是成比例线段。理由如下：
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}=\sqrt{9 - \frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{225 - 144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
计算$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{AD}{CD}=\frac{AC}{BC}$，即线段$AD$，$CD$，$AC$，$BC$成比例。

$12. 【$推理能力$】$帕提侬神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $的矩形，我们将这种宽与长的比是$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $的矩形叫作黄金矩形。如图$①，$已知黄金矩形$ ABCD $的宽$ AB = 1。$　　
$(1) $黄金矩形$ ABCD $的长$ BC =$　　$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$　　；　　
$(2) $如图$②，$将图$①$中的黄金矩形裁剪掉一个以$ AB $为边的正方形$ ABEF，$得到新的矩形$ DCEF，$猜想矩形$ DCEF $是否是黄金矩形，并证明你的结论。　　

答案： 1. 首先求$AD$的长度：
已知$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$AB = 1$，设$BC=x$，则$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，根据比例性质$x=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$。
对$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$，得$x=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5 - 1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即$BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
2. 然后证明矩形$DCEF$是黄金矩形：
解（证明）：
因为四边形$ABEF$是正方形，所以$AF = AB = 1$。
又因为$AD = BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，所以$FD=AD - AF=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}+1 - 2}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
而$DC = AB = 1$。
计算$\frac{FD}{DC}$的值：$\frac{FD}{DC}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
所以矩形$DCEF$是黄金矩形。