《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

7. 对点 $ (x,y) $ 的一次操作变换记为 $ f_1(x,y) $.定义其变换法则如下：$ f_1(x,y) = (x + y,x - y) $,且规定 $ f_n(x,y) = f_1[f_{n - 1}(x,y)] $($ n $ 为大于 $ 1 $ 的整数).例如：$ f_1(1,2) = (3,-1) $；$ f_2(1,2) = f_1[f_1(1,2)] = f_1(3,-1) = (2,4) $；$ f_3(1,2) = f_1[f_2(1,2)] = f_1(2,4) = (6,-2) $.
(1) $ f_1(1,-1) = $(0,2)；$ f_2(1,-1) = f_1[f_1(1,-1)] = f_1 $(0,2)$ = $(2,-2)；$ f_3(1,-1) = f_1[f_2(1,-1)] = f_1 $(2,-2)$ = $(0,4)；$ f_4(1,-1) = f_1[f_3(1,-1)] = f_1 $(0,4)$ = $(4,-4)；
(2) 试根据(1)的规律求 $ f_5(1,-1) $,$ f_6(1,-1) $,$ f_{2024}(1,-1) $.
$ f_5(1,-1)=(0,8) $；$ f_6(1,-1)=(8,-8) $；$ f_{2024}(1,-1)=(2^{1012},-2^{1012}) $

答案：
(1) (0,2)；(0,2)，(2,-2)；(2,-2)，(0,4)；(0,4)，(4,-4)
(2) f₅(1,-1)=(0,8)；f₆(1,-1)=(8,-8)；f₂₀₂₄(1,-1)=(2¹⁰¹²,-2¹⁰¹²)

8. 一只小狗从点 $ O $ 出发,沿北偏东 $ 30^{\circ} $ 的方向行进了 $ 3m $ 到达点 $ A $,然后又向北偏西 $ 60^{\circ} $ 的方向行进了 $ 4m $ 到达点 $ B $.
(1) 请画出这只小狗的行进路线；
(2) 求 $ \angle BAO $ 的度数.

答案：
(1) 绘图步骤：
① 画点 $ O $，从 $ O $ 出发沿北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向画线段 $ OA = 3 \, m $；
② 从 $ A $ 出发，沿北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向画线段 $ AB = 4 \, m $，终点为 $ B $。
(2) 解：
① 由北偏东 $ 30^{\circ} $，得 $ \angle 东方向与 OA 的夹角 = 30^{\circ} $，则 $ \angle 北方向与 OA 的延长线夹角 = 60^{\circ} $（相对于正北方向东侧）；
② 从 $ A $ 出发北偏西 $ 60^{\circ} $，即 $ AB $ 与正北方向夹角为 $ 60^{\circ} $（相对于正北方向西侧）；
③ 因此，$ OA $ 与正北方向夹角为 $ 30^{\circ} $，$ AB $ 与正北方向夹角为 $ 60^{\circ} $，两方向夹角之和为 $ 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} $，即 $ \angle BAO = 90^{\circ} $。
最终结论：
(1) 图形按描述绘制；
(2) $ \angle BAO = 90^{\circ} $。