《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

9. 如图,点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标分别为 $ A(-4,0) $,$ B(2,0) $,$ C(0,6) $.
(1) 求三角形 $ ABC $ 的面积；
(2) 过点 $ C $ 作直线 $ l $ 平行于 $ x $ 轴,$ M $ 为直线 $ l $ 上任意一点,试猜想三角形 $ ABC $ 与三角形 $ MAB $ 面积的关系,试用特殊值验证你的猜想；
(3) 试在坐标轴上找一点 $ P $,使三角形 $ ACP $ 的面积为三角形 $ ABC $ 的面积的 $ \frac{1}{2} $,请直接写出满足条件的点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1)
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\vert AB\vert×\vert OC\vert=\frac{1}{2}×\vert2 - (-4)\vert×6 = 18$。
(2)
因为直线$l$平行于$x$轴，所以$C$，$M$到$x$轴距离相等，即$C$，$M$到$\triangle ABM$中$AB$边距离相等。
所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABM}$。
当$M(6,6)$时，$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}×\vert2 - (-4)\vert×6 = 18=S_{\triangle ABC}$。
(3)
设$P$点坐标为$(x,0)$或$(0,y)$。
当$P(x,0)$时，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}×\vert x - (-4)\vert×6=\frac{1}{2}×18$，
$\vert x + 4\vert = 3$，$x + 4=\pm3$，$x=-1$或$x = - 7$，$P(-1,0)$或$P(-7,0)$。
当$P(0,y)$时，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}×\vert6 - y\vert×4=\frac{1}{2}×18$，
$\vert6 - y\vert=\frac{9}{2}$，$6 - y=\pm\frac{9}{2}$，$y=\frac{3}{2}$或$y=\frac{21}{2}$，$P(0,\frac{3}{2})$或$P(0,\frac{21}{2})$。
综上，$P$点坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$或$(0,\frac{3}{2})$或$(0,\frac{21}{2})$。