《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

8. 如图,△ABC 三边的中线 AD,BE,CF 交于点 G,若△ABC 的面积为 18,求图中阴影部分的面积.

答案： 解：
因为$\triangle ABC$三边的中线$AD$，$BE$，$CF$交于点$G$，
根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。
所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle BGD}=S_{\triangle CGD}$，$S_{\triangle AGF}=S_{\triangle BGF}$，$S_{\triangle AGE}=S_{\triangle CGE}$。
设$S_{\triangle BGF}=x$，$S_{\triangle BGD}=y$，$S_{\triangle CGE}=z$。
则$S_{\triangle AGF}=x$，$S_{\triangle CGD}=y$，$S_{\triangle AGE}=z$。
$S_{\triangle ABG}=2x$，$S_{\triangle BCG}=2y$，$S_{\triangle ACG}=2z$。
又因为$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle BCG}=S_{\triangle ACG}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$（重心的性质：重心和三角形$3$个顶点组成的$3$个三角形面积相等）。
已知$S_{\triangle ABC}=18$，所以$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle BCG}=S_{\triangle ACG}=\frac{1}{3}×18 = 6$。
而阴影部分面积$S = S_{\triangle BGF}+S_{\triangle CGE}=x + z$。
因为$S_{\triangle ABG}=2x$，$S_{\triangle ACG}=2z$，且$S_{\triangle ABG}+S_{\triangle ACG}=6 + 6=12$，即$2x+2z = 12$，两边同时除以$2$得$x + z=6$。
所以图中阴影部分的面积为$6$。

9. 如图,在△ABC 中,AD ⊥ BC 于点 D,AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E.
(1) 若∠C = 70°,∠B = 40°,求∠DAE 的度数；
(2) 若∠C - ∠B = 30°,求∠DAE 的度数；
(3) 若∠C - ∠B = α(∠C ＞ ∠B),求∠DAE 的度数.(用含 α 的代数式表示)

答案： （1）15° （2）15° （3）$\frac{1}{2}\alpha$