《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ CE $ 平分 $ \angle ACB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,$ FD $ 过点 $ A $,$ \angle EAD = 2 \angle CAF $.求证：$ CE // FD $.

答案： $\because \angle BAC=90^{\circ }$, $\angle B=30^{\circ }$,$\therefore \angle BCA=60^{\circ }$.$\because CE$平分$\angle ACB$,$\therefore \angle ECA=$$\dfrac {1}{2}\angle BCA=30^{\circ }$.由$\angle EAD=2\angle CAF$,且$\angle CAF+\angle EAD=90^{\circ }$,易得$\angle CAF=30^{\circ }$.$\therefore \angle ECA=\angle CAF$.$\therefore CE// FD$

8. 如图,在四边形 $ BCED $ 中,$ AF $ 交 $ DE $,$ CB $ 的延长线于点 $ F $,$ A $,交 $ EC $,$ DB $ 于点 $ G $,$ H $.
从① $ \angle 1 = \angle 2 $；② $ \angle C = \angle D $；③ $ \angle A = \angle F $ 这三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论可以组成三个命题.
(1) 这三个命题中,真命题有 ______ 个；
(2) 选择一个真命题,并完成证明过程.

答案：

(1) 3
(2) 如图所示,由①②,得③的证明.

已知:$∠1 = ∠2,∠C = ∠D,$

求证:$∠A = ∠F.$

证明：$\because ∠1 = ∠2,∠1 = ∠3,\therefore ∠3 = ∠2.$

$\therefore DB// EC.\therefore ∠D = ∠4.$

$\because ∠C = ∠D.\therefore ∠4 = ∠C.\therefore DF// AC.\therefore ∠A = ∠F.$

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,$ \angle ADB = \angle ABD $.$ BE $ 是 $ \triangle ABD $ 中边 $ AD $ 上的高,延长 $ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ F $.设 $ \angle ABC = \alpha $,$ \angle ACB = \beta $.
(1) 当 $ \alpha = 70^{\circ} $ 时,$ \angle ABF $ 的度数为 $50^{\circ }$；
(2) 求 $ \angle AFB $ 的度数；(用含 $ \alpha $,$ \beta $ 的式子表示)$90^{\circ }-\alpha +\beta $
(3) 若 $ \angle AFB = \angle BAF $,求 $ \beta $ 的值.$45^{\circ }$

答案：

解：

(1)因为$BE$是$\triangle ABD$中$AD$边上的高线，

所以$\angle BED = 90^{\circ}$。

因为$\angle ADB=\angle ABC = 70^{\circ}$，

所以$\angle DBE = 180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$，

所以$\angle ABF=\angle ABD - \angle DBE = 70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}$。

故答案为$50^{\circ}$。

(2)因为$BE$是$\triangle ABD$中$AD$边上的高线，

所以$\angle BED = 90^{\circ}$。

因为$\angle ADB=\angle ABC=\alpha$，所以$\angle DBE = 90^{\circ}-\alpha$，

所以$\angle ABF=\angle ABD - \angle DBE = 2\alpha - 90^{\circ}$。

因为$\angle ABC=\alpha$，$\angle ACB=\beta$，

所以$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ}-\alpha-\beta$。

所以$\angle AFB = 180^{\circ}-\angle ABF - \angle BAF = 180^{\circ}-(2\alpha - 90^{\circ})-(180^{\circ}-\alpha-\beta)=90^{\circ}-\alpha+\beta$。

(3)由
(2)知$\angle BAC = 180^{\circ}-\alpha-\beta$，$\angle AFB = 90^{\circ}-\alpha+\beta$。

因为$\angle AFB=\angle BAF$，

所以$90^{\circ}-\alpha+\beta = 180^{\circ}-\alpha-\beta$，所以$\beta = 45^{\circ}$。