《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

8. 将关于 $ x $,$ y $ 的二元一次方程 $ y - kx - 2k + 4 = 0 $ 化为一次函数的形式后,其图象与 $ x $ 轴交点的横坐标为 $ -1 $。
(1) 求此一次函数的表达式；
(2) 此函数的图象不经过第几象限？
(3) 求此一次函数的图象与 $ y $ 轴的交点坐标。

答案： $(1)$ 求一次函数表达式
解：
将二元一次方程$y - kx - 2k + 4 = 0$化为一次函数形式为$y=kx + 2k - 4$。
因为其图象与$x$轴交点的横坐标为$-1$，即当$y = 0$时，$x=-1$。
把$x=-1$，$y = 0$代入$y=kx + 2k - 4$中，得到$0=-k + 2k - 4$。
化简方程$0=-k + 2k - 4$，即$0=k - 4$，解得$k = 4$。
把$k = 4$代入$y=kx + 2k - 4$，得到$y = 4x+2×4 - 4$，即$y = 4x + 4$。
$(2)$ 判断函数图象不经过的象限
对于一次函数$y = 4x + 4$，其中$k = 4\gt0$，$b = 4\gt0$。
根据一次函数$y=kx + b$（$k\neq0$）的性质：
当$k\gt0$，$b\gt0$时，函数图象经过一、二、三象限，所以此函数的图象不经过第四象限。
$(3)$ 求函数图象与$y$轴的交点坐标
对于一次函数$y = 4x + 4$，当$x = 0$时，$y=4×0 + 4=4$。
所以此一次函数的图象与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y = 4x + 4}$；$(2)$第四象限；$(3)$$\boldsymbol{(0,4)}$ 。

9. 如图,在平面直角坐标系中,把二元一次方程 $ x + y = 4 $ 的若干组解用点表示出来,发现它们都落在一条直线上。一般地,任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来,它们都落在一条直线上。根据这个结论,解答下列问题：
(1) 根据图象写出二元一次方程 $ x + y = 4 $ 的所有正整数解为$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=2,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=1\end{array}\right. $；
(2) 若在直线 $ y = 4 - x $ 上取一点 $ M(1, 3) $,先向下平移 $ a $ 个单位长度,再向右平移 $ b $ 个单位长度得到点 $ M' $,发现点 $ M' $ 又重新落在二元一次方程 $ x + y = 4 $ 的图象上,试探究 $ a $,$ b $ 之间的数量关系。
$a=b$

答案：
(1) $\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=2,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=1\end{array}\right. $
(2) $a=b$