《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

7. 已知：如图,Rt△ABC 和线段 DE,∠A = 90°,DE = AB。
求作：△DEF,使 EF = BC,∠D = ∠A。(要求尺规作图,保留作图痕迹)

答案： 1. 以点D为顶点，DE为一边作∠EDF=90°（作DE的垂线DF）。
2. 以点E为圆心，BC长为半径画弧，交DF于点F。
3. 连接EF，△DEF即为所求。

8. 如图,在△ABC 中,AD ⊥ BC 于点 D,DA = DB,点 E 在 AD 上,且 BE = AC。
(1) 求证：△ACD ≌ △BED；
(2) 判断 BE 和 AC 的关系,并说明理由。

答案：

(1) 证明：如图，延长 BE 交 AC 于点 F，

∵ AD⊥BC，

∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°，

∵ ∠ABC = 45°，

∴ ∠BAD = 45°，

∴ BD = AD，

在 Rt△BDE 和 Rt△ADC 中，

$\left\{ \begin{array} { l } { B E = A C } \\ { B D = A D } \end{array} \right.$

∴ Rt△BDE ≌ Rt△ADC（HL），

(2) 解：BE⊥AC，

∵ Rt△BDE ≌ Rt△ADC，

∴ ∠DEB = ∠C，

∵ ∠C + ∠DBE = 90°，

∴ ∠C + ∠DBE = 90°，

∴ ∠CFB = 90°，

∴ BF⊥AC，

即 BE⊥AC。

9. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,DE ⊥ AB 于点 E,点 F 在 AC 上,BD = DF。求证：
(1) CF = EB；
(2) AF + EB = AE。

答案：

（1）证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴DC=DE，

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

$\left\{\begin{array}{l} DC=DE\\ DF=DB\end{array}\right. $，

∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），

∴CF=EB；

（2）
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，

∴DC=DE，

∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），

∴AC=AE，

∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE．