《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

11[2025浙江杭州期中]如图,在△ABC中,利用无刻度直尺和圆规作图(要求保留作图痕迹,不必写出作法)：
(1)作AC边上的中线BD；
(2)作△ABC的角平分线AE。

答案： 【解】（1）如图，BD 即为所作.（2）如图，AE 即为所作.

12(1)如图(1),在△ABC中,∠ACB= 90°。点D在△ABC外,连结AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD= AB,AE= AC,连结AF。求证：DF= BC+CF；
(2)如图(2),AB= AD,AC= AE,∠ACB= ∠AED= 90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论。

答案： （1）【证明】
∵ DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ ∠AED=∠AEF=∠ACB=90°.在 Rt△ACF 与 Rt△AEF 中，{AC=AE,AF=AF,
∴ Rt△ACF≌Rt△AEF（HL），
∴ CF=EF.在 Rt△ADE 与 Rt△ABC 中，{AD=AB,AE=AC,
∴ Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），
∴ DE=BC.
∵ DF=DE+EF，
∴ DF=BC+CF.（2）【解】BC=CF+DF. 证明：连结 AF.在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，{AB=AD,AC=AE,
∴ Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴ BC=DE.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF=90°=∠AED.在 Rt△ACF 与 Rt△AEF 中，{AC=AE,AF=AF,
∴ Rt△ACF≌△AEF（HL），
∴ CF=EF.
∵ DE=EF+DF，
∴ BC=CF+DF.

13[2024北京顺义区期末]已知：△ABC为等边三角形,D,E分别为线段AB,CB延长线上的点,且BD= BE。作射线AE,作点B关于AE的对称点为F,连结FC,FD,分别交直线AE于G,H。设∠BAE= α。
(1)请你根据题意,补全图形。
(2)连结ED,EF。
①判断：ED______EF；(填“＞”“＜”或“=”)
②求∠ADF的大小。(用含有α的式子表示)
(3)试猜想AH,HF和FC之间的数量关系,并证明。

答案： 【解】（1）根据题意，补全图形，如图（1）所示：（2）①
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，∠ABC=60°.
∵ BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，
∴ △DBE 是等边三角形，
∴ BE=DE，∠BED=∠BDE=60°.
∵ 点 B 关于直线 AE 的对称点为 F，
∴ BE=EF，
∴ DE=EF，故答案为=.②
∵ ∠BAE=α，
∴ ∠AEB=60°-α.
∵ 点 B 关于直线 AE 的对称点为 F，
∴ ∠AEB=∠AEF=60°-α，
∴ ∠FEB=120°-2α，
∴ ∠FED=180°-2α.
∵ DE=EF，
∴ ∠EDF=∠EFD=1/2（180°-∠FED）=α，
∴ ∠ADF=∠EDB-∠EDF=60°-α.（3）猜想：FC=AH+FH. 证明：如图（2），连结 AF.
∵ 点 B 关于直线 AE 的对称点为F，
∴ AB=AF=AC，∠BAE=∠EAF=α，
∴ ∠CAF=60°+2α，
∴ ∠AFC=∠ACF=60°-α，
∴ ∠FGH=∠AFC+∠EAF=60°，
∴ ∠EGC=120°.
∵ ∠ADF=60°-α，∠BAE=α，
∴ ∠AHF=∠ADF+∠BAE=60°，
∴ ∠AHD=120°=∠EGC.
∵ AB=BC，BE=BD，
∴ CE=AD.又
∵ ∠AEB=∠ADF=60°-α，
∴ △ADH≌△CEG（AAS），
∴ AH=CG.
∵ ∠FHG=∠FGH=60°，
∴ △FGH 是等边三角形，
∴ FH=FG，
∴ FC=FG+GC=AH+FH.

14[2025重庆云阳期末]在△ABC中,AC= BC,点D,E是边BC上的两点。
(1)如图(1),若∠B= 60°,点N在AB边上,点F在AC的延长线上,且BN= CF,点E是NF与BC的交点,过点N作ND//AF交BC于点D,AC= 4,CF= 1,求CE的值；
(2)如图(2),若∠B= 60°,点F在AC的延长线上,连结DF,AD,AE,且AD= FD,∠CAE= ∠CDF,求证：CE= CF；
(3)如图(3),连结AD,AE,若AD⊥BC,且BD:CD= 1:4,AE平分∠BAC,BD= 2,△ABC的面积为30,点M,N分别是线段AB,AE上的动点,连结MN,DN,直接写出MN+DN的最小值。

答案： （1）【解】
∵ AC=BC，∠B=60°，
∴ △ABC 是等边三角形，
∴ BC=AC=4.
∵ ND//AF，
∴ ∠DNE=∠F，∠NDB=∠ACB=60°.
∵ ∠B=60°，
∴ △BND 是等边三角形，
∴ BD=ND=BN=CF=1，
∴ DC=BC-BD=3.在△NED 和△FEC 中，{∠DNE=∠F,∠DEN=∠CEF,DN=CF,
∴ △DEN≌△CEF（AAS），
∴ CE=DE=1/2CD=1/2×3=3/2.（2）【证明】
∵ AC=BC，∠B=60°，
∴ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∴ ∠BAD+∠DAC=∠CDF+∠F=60°.
∵ AD=FD，
∴ ∠DAC=∠F，
∴ ∠BAD=∠CDF.
∵ ∠CAE=∠CDF，
∴ ∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，{∠B=∠ACB,AB=AC,∠BAD=∠CAE,
∴ △ABD≌△ACE（ASA），
∴ BD=CE，AD=AE=DF. 如图（1），过点 E 作EG//AB，交 AC 于点 G，
∴ ∠GEC=∠B=60°，
∴ ∠GEC=∠ACB=60°，
∴ △GEC 是等边三角形，
∴ CG=EG=CE=BD，
∴ AC-CG=BC-BD，即 AG=CD. 在△DCF 和△AGE 中，{CD=AG,∠CDF=∠CAE,FD=AE,
∴ △DCF≌△AGE（SAS），
∴ CF=EG，
∴ CE=CF.（3）【解】MN+DN 的最小值为24/5.
∵ BD∶CD=1∶4，S△ABC=30，
∴ S△ACD=4/5S△ABC=24.
∵ BD=2，
∴ AC=BC=5BD=10. 如图（2），过点 D 作DH⊥AC 于点 H，交 AE 于点 N，过点 N 作MN⊥AB 于点 M.
∵ AE 平分∠BAC，
∴ MN=NH，
∴ MN+DN=HN+DN=DH，
∴ 此时 MN+DN 的值最小，最小值为 DH 的长.
∵ S△ACD=1/2AC·DH=24，
∴ 1/2×10·DH=24，
∴ DH=24/5，
∴ MN+DN 的最小值为24/5.