《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1 [2025山东菏泽调研,较难]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,当点P移动至点A时,P,Q两点同时停止移动.已知点P,Q移动的速度相同,PQ与BC相交于点D.
(1)如图(1),试说明:$PD= QD;$
(2)如图(2),过点P作BC的垂线,垂足为E,点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

答案：
1.[解]
(1)过P点作PF//AC交BC于F,如图
(1).
因为点P和点Q同时出发，且移动的速度相同,所以BP=CQ.因为PF//AQ,所以∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,所以∠B=∠PFB,所以BP=PF,所以PF=CQ.
因为∠PDF=∠QDC,PF=CQ,∠DPF=∠DQC,所以△PFD≌△QCD,所以PD=QD.

(2)存在,ED的长度保持不变..理由如下:
过点P作PF//AQ交BC于点F,如图
(2).由(Ⅰ)知PB=PF;因为PE⊥BF,所以BE=EF;由
(1)知△PFD≌△QCD,所以FD=DC,所以ED=EF+FD=BE+DC=$\frac{1}{2}$BC,所以ED 的长度保持不变

2 [2025河南郑州期末,较难]如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连结DF并延长交BC的延长线于点E.
(1)如图(1),若$FE= FD$,试说明$AD= CE.$
(2)如图(2),若$FE= FD,AB= 2$,过点D作$DG⊥AC$,垂足为点G,GF的长是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：
2.[解](Ⅰ)如图
(1),过点D作DH//BC交AC于点H,所以∠DHF=∠ECF.在△DHF 和△ECF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DHF=∠ECF\\ ∠HFD=∠CFE\\ DF=EF\end{array}\right.$所以△DHF≌△ECF,所以DH=CE因为△ABC等边三角形，所以∠ABC=∠A=60°.因为DH//BC ,所以∠ADH=∠ABC=60°=∠A ,所以△ADH等边三角形，所以AD=DH,因为DH=CE,所以AD=CE.
(2)GF 的长定值如图
(2),过点D作DH//BC交AC于点H.由(Ⅰ)知△DHF≌△ECF,所以FH=FC=$\frac{1}{2}$CH.由
(1)得△ADH等边三角形,所以AD=AH,所以CH=BD,所以FH=$\frac{1}{2}$BD.因为DG⊥AC,所以AG=HG=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$AD,所以GF=HG+HF=$\frac{1}{2}$AD +$\frac{!}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(AD +BD)=$\frac{1}{2}$AB=1,即GF 的长是定值,为1.

3 [2025江苏泰州质检,中]如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 2∠B$,CD平分$∠ACB$交AB于点D,求证:$AC+AD= BC$(用2种方法证明).

答案：
3.[证明]方法(补短法):如图
(1),延长BA至点E,使AE=AC,连结CE,则∠E=∠ACE,
∴∠CAB=∠E+∠ACE=2∠E=2∠B,
∴∠ACE=∠E=∠B,
∴CE=CB.又
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠ACD+∠ACE=∠BCD+∠B,即∠ECD=∠EDC,
∴CE=DE=AE+AD=AC+AD,
∴BC=AC+AD. 方法2(截长法):如图
(2),在BC上取一点E,连结DE,使得∠EDB=∠B,则DE=BE,∠CED=∠B+∠EDB=2∠B=∠A.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE.又
∵CD=CD,
∴△ACD≌△ECD,
∴AD=DE=BE,CE=AC,
∴BC=CE+BE=AC+AD.