《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1[2025河南郑州期末，中]在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：
1.D　[解析]A选项，根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意.B选项，根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意.C选项，如图
(1)，
∵∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF，∠B=∠DFE=50°，
∴∠EFC=∠BDF.
∵BD=FC，∠B=∠C，
∴△DBF≌△FCE(ASA)，故C选项不符合题意.D选项，如图
(2)，同C选项可得∠EFC=∠BDF，而∠B=∠C，BD=CE，相等的边并不都是两组相等角的夹边，
∴两个三角形不一定全等，故D选项符合题意.故选D.

2[2025陕西咸阳质检，中]如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，∠ABC和∠BAD的平分线交于点P，点P在CD上，PE⊥AB于点E. 若四边形ABCD的面积为78，AB=13，则CD的长为（ ）

A.6
B.10
C.12
D.18

答案： 2.C　[解析]
∵AD//BC，∠C=90°，
∴∠D=90°.
∵PE⊥AB于点E，
∴∠PEA=∠PEB=90°.
∵AP平分∠BAD，BP平分∠ABC，
∴∠DAP=∠EAP，∠EBP=∠CBP.在△DAP与△EAP中，∠D=∠AEP=90°，∠DAP=∠EAP，AP=AP，
∴△DAP≌△EAP(AAS)，同理可得△EBP≌△CBP(AAS)，
∴AD=AE，BE=BC，
∴S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$(AD+BC)·DC=$\frac{1}{2}$(AE+BE)·DC=$\frac{1}{2}$AB·DC=78.
∵AB=13，
∴DC=12.故选C.

3新考法[2025江苏南京期中，中]如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为______.

答案：
3.15　[解析]如图，作PD⊥PG，NE⊥NK，QE⊥NE于E，PD与QE交于点D，则易知PD⊥QE.
∵正方形A，C的面积分别为25和9，
∴PG=5，NK=3.
∵A，B，C为正方形，
∴PQ=PF，∠QPF=90°，∠PDQ=∠PGF=90°，
∴∠GPF+∠DPF=∠DPF+∠DPQ=90°，
∴∠GPF=∠DPQ，
∴△GPF≌△DPQ(AAS)，
∴DQ=GF，PD=PG=5.同理可得GF=NK=3，PG=FK=5，EN=NK=3，QE=FK=5，
∴DQ=3，
∴S阴影部分=$\frac{1}{2}$×5×3+$\frac{1}{2}$×3×5=15.故答案为15.

4[较难]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动______s时，CF=AB.

答案：
4.2或5　[解析]
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠CBD=90°.
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠BCD.
∵∠BCD=∠ECF，
∴∠ECF=∠A.
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF=90°=∠ACB.在△CEF和△ACB中，∠ECF=∠A，∠CEF=∠ACB，CF=AB，
∴△CEF≌△ACB(AAS)，
∴CE=AC=7cm.①如图，当点E在射线BC上移动时，BE=CE+BC=7+3=10(cm).
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度运动，
∴点E运动了$\frac{10}{2}$=5(s).②当点E在射线CB上运动时，BE'=AC−BC=7−3=4(cm).
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度运动，
∴点E运动了$\frac{4}{2}$=2(s).综上所述，当点E运动5s或2s时，CF=AB.故答案为2或5.
思路分析：先证明△DAP≌△EAP，△EBP≌△CBP，得到AD=AE，BE=BC，再根据S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$(AD+BC)·DC=$\frac{1}{2}$(AE+BE)·DC=$\frac{1}{2}$AB·DC求解即可.
关键点拔：
(2)根据ASA证出△AEB≌△CEB，可得AE=CE，即可求解.
思路分析：先证明△CEF≌△ACB(AAS)，得出CE=AC=7cm，再分情况讨论:①当点E在射线BC上运动时，BE=CE+BC=10cm，即可求出点E运动了5s；②当点E在射线CB上运动时，BE'=AC - BC=4cm，即可求出点E运动了2s.

5[中]如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BE，CD相交于点F.
(1)求证：△BDF≌△CDA；
(2)若BE平分∠ABC，BF=10，求CE的长.

答案： 5.
(1)[证明]
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠FEC=90°.
∵∠BDF=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BD=CD.
∵∠DBF=90°−∠BFD，∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA.在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠ADC，BD=CD，∠DBF=∠ACD，
∴△BDF≌△CDA(ASA).
(2)[解]
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.在△BEA和△BEC中，∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠ABE=∠CBE，
∴△BEA≌△BEC(ASA)，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC.
∵△BDF≌△CDA，
∴AC=BF，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF=5.

6核心素养推理能力[较难]问题情境：如图(1)，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F，PE与PF相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图(2)，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF=60°，PE与OA相交于点E，PF与射线OB的反向延长线相交于点F. PE与PF相等吗？请说明理由.

答案：
6.[解]问题情境:PE=PF.证明:如图
(1)，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，
∴∠PON=∠POM.在△PNO和△PMO中，∠PNO=∠PMO，∠PON=∠POM，PO=PO，
∴△PNO≌△PMO(AAS)，
∴PN=PM.
∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，
∴∠MPN=360°−3×90°=90°.
∵∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中，∠MPF=∠NPE，PM=PN，∠PMF=∠PNE=90°，
∴△PMF≌△PNE(ASA)，
∴PF=PE.

变式拓展:PE=PF.理由:如图
(2)，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，
∴∠POM=∠PON.在△POM和△PON中，∠PMO=∠PNO，∠POM=∠PON，PO=PO，
∴△POM≌△PON(AAS)，
∴PM=PN.
∵∠MON=120°，
∴∠MPN=360°−2×90°−120°=60°.
∵∠MPN=∠EPF=60°，
∴∠MPF=∠NPE.在△PMF和△PNE中，∠MPF=∠NPE，PM=PN，∠PMF=∠PNE=90°，
∴△PMF≌△PNE(ASA)，
∴PF=PE.