《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

4 [2025北京西城区质检,中]如图,在$\triangle ABC$中,$CA= CB,∠ACB= 108^{\circ }$,BD平分$∠ABC$交AC于点D,求证:$AB= AD+BC$(用2种方法证明).

答案：
4.[证明]方法1(截长法):如图
(1),在AB上截取BE=BC,连结ED.
∵CA=CB,
∴∠A=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠ACB)=36°.又
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=18°.又
∵BE=BC,BD=BD,
∴△CBD≌△EBD (SAS),
∴∠BED=∠ACB=108°,
∴∠AED=72°,
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=72°=∠AED,
∴AD=AE,
∴AB=AE+BE=AD+BC. 方法2(补短法):如图
(2),延长BC至点F,使BF=AB,连结FD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠FBD.又
∵BD=BD,
∴△ABD≌△FBD(SAS),
∴AD=FD,∠F=∠A=36°,
∴∠FDC=∠ACB−∠F=72°.又
∵∠FCD=180°−∠ACB=72°,
∴∠FCD=∠FDC,
∴FC=FD=AD,
∴AB=FB=FC+BC=AD+BC.

5 [2025山西大同质检,中]如图,点D是$\triangle ABC$的三个内角的平分线AD,BD,CD的交点,且$AB+BD= AC$.求证:$∠ABC= 2∠ACB$(至少用2种方法证明).

答案：
5.[证明]方法1(截长法):如图
(1),在AC上截取AE,使AE=AB,连结DE,则AB+CE=AE+CE=AC=AB+BD,
∴CE=BD.
∵AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC，∠ACB,
∴∠DAB=∠DAE,∠ABC=2∠ABD,∠ACB=2∠ACD.又
∵AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,∠ABD=∠AED,
∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠ABD=∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD=∠ACB,
∴∠ABC=2∠ACB. 方法2(补短法):如图
(2),延长AB到点E,使BE=BD,连结DE,则AE=AB+BE=AB+BD=AC,∠E=∠BDE,
∴∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E.又
∵AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,
∴∠DAE=∠DAC,∠ABC=2∠ABD,∠ACB=2∠ACD.又
∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴∠E=∠ACD,
∴∠ABD=2∠ACD=∠ACB,
∴∠ABC=2∠ACB.

6 [2025河南周口期末,中]如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 3∠C$,AD平分$∠BAC$交BC于D,$BE⊥AD$于E,求证:$BE= \frac {1}{2}(AC-AB).$

答案：
6.[证明]如图,延长BE交AC于点F,则∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.在△ABE和△AFE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠AEF,\\ AE=AE,\\ ∠BAE=∠FAE,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=EF;
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C,
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF,
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC−AF=AC−AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC−AB).

7 [2025河北秦皇岛期末,中]如图,$\triangle ABC$中,AD平分$∠BAC,CD⊥AD$,若$∠ABC+∠ACD= 180^{\circ },CD= 4$,则BC的长为______.

答案： 8

8 [2025福建泉州期中,中]如图,$\triangle ABC$中,$BC= 10,AC-AB= 4$,AD是$∠BAC$的平分线,D在BC下方,且$CD⊥AD$,连结BD,求$S_{\triangle BDC}$的最大值.

答案：
8.[解]如图,延长CD,AB交于点E.
∵AD是∠BAC的平分线,CD⊥AD,
∴∠EAD=∠CAD,∠ADE=90°=∠ADC.又
∵AD=AD,
∴△EAD≌△CAD(ASA),
∴AE=AC,DE=CD,
∴BD为△BCE的中线,则$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCE}$.
∵AC−AB=4,
∴BE=AE−AB=4,
∴当BE⊥BC时,$S_{\triangle BCE}$最大,即$S_{\triangle BCD}$最大,此时$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×10×4=10$.