《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1 [2025江苏常州期中,中]计算:
(1)$(60\frac {1}{60})^{2}$; (2)$9.8^{2}$;
(3)$397×403+9$; (4)$\frac {253^{2}-247^{2}}{100^{2}}$.

答案：
(1)$\left(60\frac{1}{60}\right)^2=\left(60+\frac{1}{60}\right)^2=60^2+2×60×\frac{1}{60}+\left(\frac{1}{60}\right)^2=3600+2+\frac{1}{3600}=3602\frac{1}{3600}$.
(2)$9.8^2=(10-0.2)^2=10^2-2×10×0.2+0.2^2=100-4+0.04=96.04$.
(3)$397×403+9=(400-3)×(400+3)+9=400^2-3^2+9=160000-9+9=160000$.
(4)$\frac{253^2-247^2}{100^2}=\frac{(253+247)×(253-247)}{10000}=\frac{3000}{10000}=\frac{3}{10}$.

2 [2025河南商丘质检,中]在学完平方差公式后,小滨出示了一串呈“数字”链的计算题:$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$.
小梅根据算式的特点,结合平方差公式,发现:只要在算式最前面添上一个“引线”——数字1,就可用平方差公式,像点鞭炮一样依次“点燃”整个“数字”链.
(1)请根据小梅的思路,求出上述算式的值.
(2)计算:$\frac {1}{2}+(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$.

答案：
(1)原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)=(2^8-1)(2^8+1)=2^{16}-1$.
(2)原式$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(3^{32}-1)=\frac{3^{32}}{2}$.

3 [2024浙江宁波期末,较难]已知$a_{1},a_{2},...,a_{2002}$的值都是1或-1,设S是这2002个数的两两乘积之和.(参考公式:$(a+b+c+d)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd))$
(1)求S的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件;
(2)求S的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.

答案：
(1)由题意可得$(a_1+a_2+\cdots+a_{2002})^2=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2002}^2+2S$，$\therefore S=\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_{2002})^2-2002}{2}$.$\because0\leq(a_1+a_2+\cdots+a_{2002})^2\leq2002^2$，$\therefore$当$a_1=a_2=\cdots=a_{2002}=1$或$a_1=a_2=\cdots=a_{2002}=-1$时，$S$取得最大值2003001；当$a_1,a_2,\cdots,a_{2002}$中有1001个1，1001个-1时，$S$取得最小值-1001.
(2)$\because$大于2002的最小完全平方数为$45^2=2025$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2002}$必为偶数，$\therefore$当$a_1+a_2+\cdots+a_{2002}=46$或-46时，即当这2002个数中有1024个1，978个-1，或有1024个-1，978个1时，$S$取得最小正值$\frac{1}{2}(46^2-2002)=57$.

4 [2024四川内江市中区校级期中,中]我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”(如图)就是一例.这个三角形给出了$(a+b)^{n}(n= 1,2,3,4,5,... )$的展开式的系数规律(其中,字母按a的降幂排列,b的升幂排列).例如,在三角形中第2行的三个数1,2,1,恰好对应$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$展开式中各项的系数;第3行的四个数1,3,3,1,恰好对应$(a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$展开式中各项的系数;第4行的五个数1,4,6,4,1,恰好对应着$(a+b)^{4}= a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$展开式中各项的系数;….
有如下结论:
①$(a - b)^{3}= a^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}+b^{3}$;
②“杨辉三角”中第9行所有数之和为1024;
③“杨辉三角”中第20行第3个数为190;
④$99^{3}+3×99^{2}+3×99+1的结果是10^{6}$;
⑤当代数式$a^{4}+8a^{3}+24a^{2}+32a+16$的值是1时,实数a的值是-1或-3.上述结论中,正确的有( )


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B【解析】根据题中规律，可知$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$，$\therefore$①不符合题意；$\because$第0行所有数的和是$1=2^0$，第1行所有数的和是$2=2^1$，第2行所有数的和是$4=2^2$，第3行所有数的和是$8=2^3$，$\cdots$，$\therefore$第9行所有数的和是$2^9=512$，$\therefore$②不符合题意；$\because$第2行第3个数是1，第3行第3个数是3，第4行第3个数是6，$\cdots$，可知第$n(n\geq2)$行第3个数是$\frac{n(n-1)}{2}$，$\therefore$第20行第3个数是$\frac{20×19}{2}=190$，$\therefore$③符合题意；$\because99^3+3×99^2+3×99+1=(99+1)^3=100^3=10^6$，$\therefore$④符合题意；$\because a^4+8a^3+24a^2+32a+16=(a+2)^4=1$，$\therefore a+2=1$或$a+2=-1$，解得$a=-1$或$a=-3$，$\therefore$⑤符合题意.故正确的有3个.故选B.