《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1 下列实数：$\frac {22}{7},\frac {\sqrt {2}}{2},\sqrt {9},\sqrt [3]{-7},0,2π,$3.101 001 000 1…(每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的个数为 （ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C【解析】$\frac{22}{7}$是分数，是有理数；$\frac{\sqrt{2}}{2}$开不尽方，是无理数；$\sqrt{9}=3$，是有理数；$\sqrt[3]{-7}$是无理数；0 是整数，是有理数；$\pi$是无理数，所以$2\pi$是无理数；3.1010010001…（每相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数. 故无理数有4个，故选C.id:5
answer:
(1)$\sqrt{3}$
(2)$x＜0$
(3)2 和 4(答案不唯一)【解析】
(1)当x为9时，$\sqrt{9}=3$，3 为有理数，则取3的算术平方根为$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$为无理数，
∴ y的值为$\sqrt{3}$，故答案为$\sqrt{3}$.
(2)根据负数没有算术平方根，则输入的x满足的条件是$x＜0$，故答案为$x＜0$.
(3)当$x=2$时，$\sqrt{2}$是无理数;当$x=4$时，$\sqrt{4}=2$，取2的算术平方根是$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$为无理数，故答案为2和4(答案不唯一).id:7answer:D【解析】A 选项，正实数、负实数和0统称实数，则原说法错误，不符合题意；B 选项，正有理数、负有理数和0统称有理数，则原说法错误，不符合题意;C 选项，无理数和有理数统称实数，则原说法错误，不符合题意；D 选项，无理数与有理数统称实数，则原说法正确，符合题意. 故选D.id:8
answer:【解】正分数:$\{3.14,\frac{3}{7},\cdots\}$；整数:$\{100,-2,0,-2011,\cdots\}$；负有理数:$\{-0.82,-30\frac{1}{2},-2,-2011,\cdots\}$；非正整数:$\{-2,0,-2011,\cdots\}$；无理数:$\{-\frac{\pi}{4},2.010010001\cdots($相邻两个1之间依次多一个0$),\cdots\}$.id:10
answer:B【解析】①数轴上的点既能表示有理数，也能表示无理数，则原说法错误；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，则原说法正确；③实数与数轴上的点一一对应，则原说法正确；④有理数有无限个，无理数也有无限个，则原说法错误，
∴正确的说法是②③，故选B.id:11
answer:C【解析】
∵正方形ABCD的面积为5，且$AD = AE$，
∴$AD=AE=\sqrt{5}$.
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为$1+\sqrt{5}$. 故选C.id:12
answer:$-\sqrt{6}\pm\pi$【解析】
∵圆的直径为1，
∴该圆的周长为$\pi$.
∵该圆从点A出发，沿数轴无滑动地滚动1周，
∴$AB = \pi$.
∵点A表示的实数是$-\sqrt{6}$，
∴向右滚动时，点B表示的数是$-\sqrt{6}+\pi$；向左滚动时，点B表示的数是$-\sqrt{6}-\pi$. 故答案为$-\sqrt{6}\pm\pi$.id:13
answer:C【解析】
∵点A，B表示的数分别为$-\sqrt{3}$，1，
∴$AB=\sqrt{3}+1$.
∵$BC = 2$，
∴当点C在点B的右边时，$AC=AB + BC=\sqrt{3}+1+2=\sqrt{3}+3$；当点C在点B的左边时，$AC=AB-BC=\sqrt{3}+1 - 2=\sqrt{3}-1$，
∴AC的长为$\sqrt{3}+3$或$\sqrt{3}-1$. 故选C.id:15
answer:
(1)$\sqrt{6}$ $-\sqrt{5}+2$ $\pi$
(2)$\pm\sqrt{3}$【解析】
(1)$-\sqrt{6}$的绝对值是$\sqrt{6}$；$\sqrt{5}-2$的相反数是$-(\sqrt{5}-2)=-\sqrt{5}+2$；$\frac{1}{\pi}$的倒数是$\pi$.
(2)
∵$|x|=\sqrt{3}$，
∴$x=\pm\sqrt{3}$.

2 如图是一个无理数筛选器的工作流程图.
[num=（1）当x为9时，y的值为 ；（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ；（3）当输出的y值是$\sqrt {2}$时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x的值： .

答案： 【解析】：
本题主要考查了实数的运算以及无理数和有理数的概念，同时涉及到算术平方根的计算。需要根据给定的工作流程图，对输入值进行逐步运算，根据运算结果回答问题。
（1）需要按照工作流程图的步骤，对$x=9$进行运算，求出$y$的值。
（2）需要理解“没有算术平方根”的含义，即输入值小于0，然后写出满足条件的$x$的取值范围。
（3）需要通过逆向思维，从输出值$y=\sqrt{2}$出发，逆向推导出可能的输入值$x$。
【答案】：
（1）当输入$x=9$时，
首先计算$x$的算术平方根，
即$\sqrt{9}=3$，
由于3是有理数，
继续对3取算术平方根，
得到$\sqrt{3}$，
$\sqrt{3}$是无理数，
所以$y=\sqrt{3}$。
（2）如果输入$x$值后，没有算术平方根，
即$\sqrt{x}$无意义，
那么$x$必须小于0，
因此输入的$x$满足的条件是$x＜0$。
（3）当输出的$y$值是$\sqrt{2}$时，
可以考虑两种情况：
第一种情况，直接对$\sqrt{2}$取算术平方根的逆运算，
即求$(\sqrt{2})^2=2$，
然后判断2是否有算术平方根，
$\sqrt{2}$是无理数，
此时可以将2作为输入值$x$，
即$x=2$；
第二种情况，寻找一个数，它的算术平方根是$\sqrt{2}$，
这个数是2（因为$(\sqrt{2})^2=2$），
但我们可以考虑更前面的步骤，
即寻找一个数，它的算术平方根是某个数，
再对这个数取算术平方根得到$\sqrt{2}$，
这个数可以是任意正实数，
只要它经过一次或多次取算术平方根后能得到2，
然后再得到$\sqrt{2}$，
例如我们可以选择$x=4$或$x=8$（因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
然后对2或$2\sqrt{2}$再取算术平方根可以得到$\sqrt{2}$，
但考虑到工作流程图只输出最终的无理数结果，
所以我们只需要关心最终能得到$\sqrt{2}$的输入值即可），
因此输入$x$的值可以是2或4或8等（答案不唯一）。
故答案为：2；4。（答案不唯一）

3 [2025 吉林通化质检]下列说法正确的是（ ）

A.正实数和负实数统称实数
B.正数、0 和负数统称有理数
C.无理数和分数统称实数
D.无理数和有理数统称实数

答案： 【解析】：
本题考察的是实数的分类。
A选项：正实数和负实数统称为实数，这个说法是不准确的。因为实数还包括0，所以A选项错误。
B选项：正数、0和负数统称为有理数，这个说法也是不准确的。因为有理数是可以表示为两个整数的比的数，而正数、0和负数中还包括了无理数，如$\pi$、$\sqrt{2}$等，所以B选项错误。
C选项：无理数和分数统称为实数，这个说法同样不准确。因为实数包括有理数和无理数，而分数只是有理数的一部分，所以C选项错误。
D选项：无理数和有理数统称为实数，这个说法是正确的。因为实数确实是由有理数和无理数组成的，所以D选项正确。
【答案】：
D

4 [2025 江苏苏州质检]把下列各数填在相应的大括号中.
100，-0.82，-30$\frac {1}{2}$，3.14，-2，0，-2 011，$\frac {3}{7},$$-\frac {π}{4}$，2.010 010 001…(相邻两个 1 之间依次多一个 0).
正分数：{ …}；
整数：{ …}；
负有理数：{ …}；
非正整数：{ …}；
无理数：{ …}.

答案： 【解析】：
本题考查了实数的分类，具体涉及正分数、整数、负有理数、非正整数和无理数的识别。
正分数：需要找出所有大于0的有理数，且不是整数。从给定的数中，我们可以找到$3.14$和$\frac{3}{7}$满足这一条件。
整数：需要找出所有没有小数部分的数，包括正整数、0和负整数。从给定的数中，我们可以找到$100, -2, 0, -2011$满足这一条件。
负有理数：需要找出所有小于0的有理数。从给定的数中，我们可以找到$-0.82, -30\frac{1}{2}, -2, -2011$满足这一条件。
非正整数：需要找出所有小于等于0的整数。从给定的数中，我们可以找到$-2, 0, -2011$满足这一条件。
无理数：需要找出所有不能表示为两个整数的商的数。从给定的数中，我们可以找到$-\frac{\pi}{4}$和$2.010010001\ldots$（相邻两个$1$之间依次多一个$0$）满足这一条件。
【答案】：
正分数：$\{ 3.14，\frac{3}{7} \}$；
整数：$\{ 100，-2，0，-2011 \}$；
负有理数：$\{ -0.82，-30\frac{1}{2}，-2，-2011 \}$；
非正整数：$\{ -2，0，-2011 \}$；
无理数：$\{ -\frac{\pi}{4}，2.010010001\ldots \}$（相邻两个$1$之间依次多一个$0$）。

5 [2025 河南南阳期中]有下列说法：①数轴上的点只能表示有理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个，其中正确的说法是（ ）

A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④

答案： 【解析】：
本题考查了实数与数轴的关系以及有理数和无理数的概念及性质。
① 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数。因为有理数和无理数统称为实数，数轴上的点与实数一一对应，所以此说法错误。
② 无理数，如$\sqrt{2}$，$\pi$等，都可以在数轴上找到对应的点来表示，所以此说法正确。
③ 实数包括有理数和无理数，数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到唯一的点来表示，所以此说法正确。
④ 有理数确实有无限个，包括整数、有限小数和无限循环小数。但无理数也有无限个，如无法表示为两个整数的比的数（如$\pi$，$e$，$\sqrt{2}$等）都是无理数，所以此说法错误。
综上所述，正确的说法是②和③。
【答案】：
B

6 [2025 湖北黄石期中]如图，已知正方形 ABCD的面积为 5，点 A 在数轴上，且表示的数为 1. 现以 A 为圆心，AB 为半径画圆，和数轴交于点 E(E 在 A 的右侧)，则点 E 表示的数为 （ ）

A.3. 2
B.$\sqrt {5}-1$
C.$\sqrt {5}+1$
D.$\sqrt {5}$

答案： 【解析】：本题可先根据正方形面积求出边长，再结合点$A$在数轴上表示的数以及点$E$与点$A$的位置关系，进而求出点$E$表示的数。
步骤一：求正方形的边长
已知正方形$ABCD$的面积为$5$，设正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式$S = a^2$（$S$为正方形面积，$a$为正方形边长），可得$a^2 = 5$。
因为边长$a\gt0$，所以对$a^2 = 5$两边同时开平方，可得$a = \sqrt{5}$，即正方形$ABCD$的边长$AB=\sqrt{5}$。
步骤二：求点$E$表示的数
已知点$A$在数轴上表示的数为$1$，且以$A$为圆心，$AB$为半径画圆，和数轴交于点$E$（$E$在$A$的右侧）。
根据数轴上两点间的距离公式，若数轴上两点所表示的数分别为$m$、$n$，则这两点间的距离为$\vert m - n\vert$。
因为点$E$在点$A$右侧，所以点$E$表示的数比点$A$表示的数大，且$AE = AB = \sqrt{5}$，设点$E$表示的数为$x$，则$x - 1 = \sqrt{5}$，移项可得$x = \sqrt{5} + 1$，即点$E$表示的数为$\sqrt{5} + 1$。
【答案】：C。

7 [2025 河北唐山质检]如图，数轴上点 A 表示的实数是$-\sqrt {6}$，且点 A 在直径为 1 的圆上，该圆从点 A 出发，沿数轴无滑动地滚动 1 周，圆上的点 A 到达点 B 处，则点 B 表示的数是 .

答案： 【解析】：本题考查了实数与数轴的关系，以及圆的周长公式。
首先，我们知道点A表示的实数是$-\sqrt{6}$，且点A在直径为1的圆上。
当圆从点A出发，沿数轴无滑动地滚动1周时，圆上的点A会移动一个圆的周长的距离。
圆的周长公式为$C = \pi d$，其中d是圆的直径。
在本题中，圆的直径为1，所以圆的周长为$\pi × 1 = \pi$。
因此，当圆从点A滚动1周后，点A会移动$\pi$的距离。
由于点A原来在数轴上的位置是$-\sqrt{6}$，且圆是沿数轴向右滚动的（因为题目没有指明方向，但通常我们默认是向右滚动），
所以点B在数轴上的位置就是点A的位置加上圆的周长，即$-\sqrt{6} + \pi$或$-\sqrt{6} - \pi$。
但是，我们需要考虑圆滚动的方向。
由于题目没有明确指出滚动方向，但通常我们默认圆是向右滚动的。
如果圆是向右滚动的，那么点B会在点A的右侧，所以点B表示的数是$-\sqrt{6} + \pi$。
如果考虑圆向左滚动（尽管这种情况较少见），那么点B会在点A的左侧，
此时点B表示的数是$-\sqrt{6} - \pi$。
但根据题目的常规理解，我们默认圆是向右滚动的。
【答案】：$-\sqrt{6} + \pi$。

8 [2025 四川内江期中]点 A，B，C 在同一条数轴上，其中点 A，B 表示的数分别为$-\sqrt {3},1$，若$BC=2$，则 AC 等于（ ）

A.$\sqrt {3}-1$
B.$\sqrt {3}+1$
C.$\sqrt {3}+3$或$\sqrt {3}-1$
D.$\sqrt {3}+3$或$\sqrt {3}+1$

答案： 【解析】：
本题主要考查了实数与数轴的关系以及数轴上两点间的距离公式。
首先，点A和点B在数轴上的坐标已知，分别为$-\sqrt{3}$和$1$。
接着，根据数轴上两点间的距离公式，可以计算出点A和点B之间的距离$AB$：
$AB = |1 - (-\sqrt{3})| = 1 + \sqrt{3}$，
题目给出$BC=2$，但点C的位置相对于点B有两种可能性：点C可能在点B的右侧，也可能在点B的左侧。
1. 当点C在点B的右侧时，点C的坐标为$1+2=3$。
此时，$AC = AB + BC = (1 + \sqrt{3}) + 2 = \sqrt{3} + 3$。
2. 当点C在点B的左侧时，点C的坐标为$1-2=-1$。
此时，需要注意到$AC$应该是点A到点C的距离，因此：
$AC = AB - BC = (1 + \sqrt{3}) - 2 = \sqrt{3} - 1$，
综合以上两种情况，得出$AC$的可能长度为$\sqrt{3} + 3$或$\sqrt{3} - 1$。
【答案】：
C. $\sqrt{3}+3$或$\sqrt{3}-1$。

9 [2025 山东潍坊期中]（1）$-\sqrt {6}$的绝对值是 ，$\sqrt {5}-2$的相反数是 ，$\frac {1}{π}$的倒数是 .
（2）若$|x|=\sqrt {3}$，则$x=$ .

答案： 【解析】：
本题主要考查了实数的基本性质，包括绝对值、相反数、倒数的定义以及绝对值的求解。
（1）对于$-\sqrt{6}$的绝对值，根据绝对值的定义，一个数的绝对值是该数到0的距离，因此$-\sqrt{6}$的绝对值是$\sqrt{6}$。
对于$\sqrt{5}-2$的相反数，根据相反数的定义，一个数的相反数是与该数和为0的数，因此$\sqrt{5}-2$的相反数是$2-\sqrt{5}$。
对于$\frac {1}{π}$的倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是1除以该数，因此$\frac {1}{π}$的倒数是$π$。
（2）对于$|x|=\sqrt {3}$，根据绝对值的定义，若一个数的绝对值是$\sqrt {3}$，则这个数可以是$\sqrt {3}$或$-\sqrt {3}$。
【答案】：
（1）$\sqrt{6}$；$2-\sqrt{5}$；$π$。
（2）$x=±\sqrt {3}$。