《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

6[2025四川攀枝花期末,较难]已知$AB= AC$,D,A,E三点都在直线m上,且$DE= 9cm$,$∠BDA= ∠AEC= ∠BAC$。
(1)如图(1),若$AB⊥AC$,则BD与AE的数量关系为______；
(2)如图(2),写出线段BD,CE与DE的数量关系并说明理由；
(3)如图(3),将条件中“$∠BDA= ∠AEC= ∠BAC$”改为“$∠BDA= ∠AEC$”,已知$BD= EF= 7cm$,点A在线段DE上以$2cm/s$的速度由点D向点E运动,同时点C在线段EF上以$xcm/s$的速度由点E向点F运动,当$x= $______时,能够使$\triangle ABD与\triangle EAC$全等。

答案：
(1)
∵AB⊥AC，∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，
∴∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = 90°，
∴∠BAD + ∠CAE = ∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴∠CAE = ∠ABD。
∵BA = CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD = AE，故答案为BD = AE。
(2)DE = BD + CE，理由:
∵∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，∠BAD + ∠CAE + ∠BAC = ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
∴∠CAE = ∠ABD。
∵∠BDA = ∠AEC，BA = CA，
∴△ABD≌△CAE (AAS)，
∴BD = AE，CE = AD，
∴DE = AD + AE = BD + CE。
(3)
∵∠BDA = ∠AEC，
∴分以下两种情况讨论:当△DAB≌△ECA时，BD = AE = 7cm，
∴AD = CE = 9 - 7 = 2(cm)，
∴运动的时间为$\frac{2}{2}$ = 1(s)，
∴x = 2×1 = 2。当△DAB≌△EAC时，AD = AE = $\frac{9}{2}$ = 4.5(cm)，DB = EC = 7cm，
∴运动的时间为$\frac{AD}{2}$ = $\frac{9}{4}$s，
∴x = 7÷$\frac{9}{4}$ = $\frac{28}{9}$。综上，x = 2或x = $\frac{28}{9}$，故答案为2或$\frac{28}{9}$。

7[中]【问题背景】如图(1),在四边形ABCD中,$AB= AD$,$∠BAD= 120^{\circ}$,$∠B= ∠ADC= 90^{\circ}$,E,F分别是BC,CD上的点,且$∠EAF= 60^{\circ}$,试探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系。
(1)小王同学探究此问题的方法如下：延长FD到点G,使$DG= BE$,连结AG,先说明$\triangle ABE\cong \triangle ADG$,再说明$\triangle AEF\cong \triangle AGF$,可得出结论,他的结论应是______。
【探索延伸】(2)如图(2),若在四边形ABCD中,$AB= AD$,$∠B+∠D= 180^{\circ}$,E,F分别是BC,CD上的点,且$∠EAF= \frac{1}{2}∠BAD$,上述结论是否仍然成立？请说明理由。
【学以致用】(3)如图(3),四边形ABCD是边长为5的正方形,$∠EBF= 45^{\circ}$,直接写出$\triangle DEF$的周长。

答案：
(1)在△ABE和△ADG中，BE = DG，∠B = ∠ADG，AB = AD，所以△ABE≌△ADG(SAS)，所以AE = AG，∠BAE = ∠DAG。因为∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，所以∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF，所以∠EAF = ∠GAF。在△AEF和△AGF中，AE = AG，∠EAF = ∠GAF，AF = AF，所以△AEF≌△AGF(SAS)，所以EF = FG。因为FG = DG + DF = BE + DF，所以EF = BE + DF。故答案为EF = BE + DF。
(2)结论EF = BE + DF仍然成立。理由:如图
(1)，延长FD到点G，使DG = BE，连结AG。因为∠B + ∠CDA = 180°，∠ADG + ∠CDA = 180°，所以∠B = ∠ADG。在△ABE和△ADG中，BE = DG，∠B = ∠ADG，AB = AD，所以△ABE≌△ADG(SAS)，所以AE = AG,∠BAE = ∠DAG。因为∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，所以∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF，所以∠EAF = ∠GAF。在△AEF和△AGF中,AE = AG,∠EAF = ∠GAF,AF = AF,所以△AEF≌△AGF(SAS),所以EF = FG。因为FG = DG + DF = BE + DF,所以EF = BE + DF。
(3)△DEF的周长是10。如图
(2),延长DC到点G,使CG = AE,连结BG｡因为四边形ABCD是正方形,所以∠A = ∠ABC = ∠BCD = 90°,AB = BC｡在△AEB与△CGB中,AE = CG,∠A = ∠BCG,AB = CB,所以△AEB≌△CGB(SAS),所以BE = BG,∠ABE = ∠CBG｡因为∠EBF = 45°,∠ABC = 90°,所以∠ABE + ∠CBF = 45°,所以∠CBF + ∠CBG = ∠GBF = 45°｡在△EBF与△GBF中,BE = BG,∠EBF = ∠GBF,BF = BF,所以△EBF≌△GBF (SAS),所以EF = GF,所以△DEF的周长为EF + ED + DF = AE + CF + DE + DF = AD + CD = 5 + 5 = 10｡