《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1[2025 湖南长沙期末]已知命题“直角三角形的两个锐角互余”,则该命题的逆命题为( )

A.如果一个三角形不是直角三角形,那么它的两个锐角不互余
B.如果一个三角形中两个锐角不互余,那么这个三角形不是直角三角形
C.如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角不互余
D.如果一个三角形中两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形

答案： 【解析】：
本题考察的是对逆命题的理解及构造。
首先，需要明确原命题的条件和结论。
原命题是：“直角三角形的两个锐角互余”。
其中，条件是：“一个三角形是直角三角形”，结论是：“这个三角形的两个锐角互余”。
接着，根据逆命题的定义，需要将条件和结论互换，得到逆命题。
逆命题为：“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”。
最后，与选项进行比对，可以看出选项D与构造出的逆命题一致。
【答案】：
D

2[2025 河北邯郸鸡泽期中]对于命题“如果$∠1 = ∠2 = 90^{\circ}$,那么$∠1与∠2$互补”,能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是( )

A.$∠1 = 80^{\circ}$,$∠2 = 110^{\circ}$
B.$∠1 = 10^{\circ}$,$∠2 = 169^{\circ}$
C.$∠1 = 60^{\circ}$,$∠2 = 120^{\circ}$
D.$∠1 = 60^{\circ}$,$∠2 = 140^{\circ}$

答案： 解：原命题的逆命题为“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°”。
要说明逆命题为假命题，需找出∠1与∠2互补但∠1≠90°或∠2≠90°的反例。
互补角满足∠1+∠2=180°。
A选项：80°+110°=190°≠180°，不互补，不符合。
B选项：10°+169°=179°≠180°，不互补，不符合。
C选项：60°+120°=180°，互补，且∠1≠90°，∠2≠90°，符合反例条件。
D选项：60°+140°=200°≠180°，不互补，不符合。
结论：能说明逆命题是假命题的反例是C。
C

3[2024 河北石家庄期末]下列命题的逆命题是真命题的是( )

A.若$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,则$a + b ＞ 0$
B.若$a = b$,则$|a| = |b|$
C.钝角三角形中有两个锐角
D.负数没有平方根

答案： 【解析】：
本题要求我们判断给定命题的逆命题是否为真命题。
逆命题是将原命题中的条件和结论互换得到的新命题。
A. 原命题：若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$a + b ＞ 0$。
逆命题：若$a + b ＞ 0$，则$a ＞ 0$且$b ＞ 0$。
考虑反例：当$a = -1$，$b = 2$时，$a + b = 1 ＞ 0$，但$a$不大于$0$，所以逆命题为假。
B. 原命题：若$a = b$，则$|a| = |b|$。
逆命题：若$|a| = |b|$，则$a = b$。
考虑反例：当$a = -1$，$b = 1$时，$|a| = |b| = 1$，但$a$不等于$b$，所以逆命题为假。
C. 原命题：钝角三角形中有两个锐角。
逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形。
考虑反例：一个三角形可能有两个锐角和一个直角，这样的三角形不是钝角三角形，所以逆命题为假。
D. 原命题：负数没有平方根。
逆命题：没有平方根的数是负数。
根据实数范围内，只有负数没有平方根（因为任何正数的平方都是正的，0的平方是0），所以逆命题为真。
【答案】：
D

4 新考向 开放性试题[2025 河南商丘期中]请你写出一个逆命题为真命题的命题：____.

答案： 解：两直线平行，同位角相等。

5[2024 河南安阳期中]已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合. 证明这个命题,并写出它的逆命题. 逆命题成立吗？

答案： 证明：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线。
∵AD是底边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
AD=AD，
BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠BAD=∠CAD。
∴AD是顶角∠BAC的平分线。
即等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合。
逆命题：如果一个三角形一边上的中线和该边所对顶角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
逆命题成立。证明：已知△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∠ADB=∠ADC=90°（中线与角平分线重合可推出AD⊥BC，此处可通过作辅助线或利用全等证明，八年级可简述为根据ASA或AAS），
∴△ABD≌△ACD（ASA）。
∴AB=AC。
∴△ABC是等腰三角形。

6[2025 吉林松原质检]下列说法错误的是( )

A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.假命题的逆命题未必是假命题
D.所有定理都是真命题

答案： 【解析】：
本题考察的是对命题、逆命题、定理及逆定理的理解。
A选项：任何命题都有逆命题。这是正确的，因为逆命题是通过交换原命题中的前提和结论来得到的，所以每个命题都有一个对应的逆命题。
B选项：任何定理都有逆定理。这是错误的。一个定理的逆定理是将定理中的前提和结论进行交换得到的新命题，但这个新命题不一定是真命题。因此，不是所有定理都有逆定理，或者说，不是所有定理的逆命题都是真命题，从而不是所有定理都有被证明为真的逆定理。
C选项：假命题的逆命题未必是假命题。这是正确的，因为假命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，这取决于逆命题本身的内容。
D选项：所有定理都是真命题。这是正确的，因为定理是经过证明为真的命题。
综上所述，B选项是错误的。
【答案】：
B

7[2024 福建三明期末]下列定理有逆定理的是( )

A.两直线平行,同位角相等
B.直角都相等
C.全等三角形的对应角相等
D.对顶角相等

答案： 【解析】：
本题主要考察互逆命题和互逆定理的理解和应用。
互逆命题的定义是：如果把一个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题称互为逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。
同时，我们需要知道，一个命题不一定有逆定理，只有当它的逆命题也是真命题时，才存在逆定理。
接下来，我们逐一分析选项：
A. 两直线平行，同位角相等。
其逆命题是：同位角相等，两直线平行。这是一个真命题，因此存在逆定理。
B. 直角都相等。
其逆命题是：相等的角是直角。这是一个假命题，因为存在相等的角并非都是直角，所以不存在逆定理。
C. 全等三角形的对应角相等。
其逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形。这是一个假命题，因为仅通过对应角相等不能确定两个三角形全等，所以不存在逆定理。
D. 对顶角相等。
其逆命题是：相等的角是对顶角。这也是一个假命题，因为存在相等的角并非都是对顶角，所以不存在逆定理。
综上所述，只有选项A存在逆定理。
【答案】：
A

8 下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”成为互逆定理的是( )

A.同旁内角不互补,两直线平行
B.同旁内角不互补,两直线不平行
C.两直线平行,同旁内角互补
D.两直线不平行,同旁内角不互补

答案： 【解析】：
本题考察的是互逆定理的概念。互逆定理是指，如果一个定理的题设和结论分别是另一个定理的结论和题设，那么这两个定理称互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
题目中给出的定理是“同旁内角互补,两直线平行”，其题设是“同旁内角互补”，结论是“两直线平行”。
根据互逆定理的定义，我们需要找到一个命题，其题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”。
对比选项：
A. 题设是“同旁内角不互补”，与原定理的题设不符；
B. 题设是“同旁内角不互补”，结论是“两直线不平行”，与原定理的题设和结论都不符；
C. 题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，与原定理的题设和结论互为逆定理；
D. 题设是“两直线不平行”，与原定理的结论不符。
因此，与“同旁内角互补,两直线平行”成为互逆定理的是C选项。
【答案】：
C

9 新考向 开放性试题 我们已经学习过了“等腰三角形的判定定理”,请根据所学知识回答问题.
(1)写出等腰三角形的判定定理(写成如果……那么……的形式)：____,该定理可以简写为____. 该定理的逆定理为____.
(2)请你写出等腰三角形判定定理的已知、求证,并写出证明过程.

答案： 【解析】：
(1) 本题主要考查等腰三角形的判定定理及其逆定理。等腰三角形的判定定理是描述一个三角形在什么条件下会成为等腰三角形。逆定理则是根据等腰三角形的性质推导出其角的关系。
(2) 这一问要求写出等腰三角形判定定理的已知、求证，并写出证明过程，旨在考查对定理的深入理解和逻辑推理能力。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
逆定理：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。
对于第二问，需要明确已知条件（三角形中有两个角相等）和求证目标（这两个角所对的边相等），然后通过逻辑推理证明这一目标。
【答案】：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；“等角对等边”；如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。
(2)已知：在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B = \angle C$。
求证：$AB = AC$。
证明：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$。
因为$AD \perp BC$，
所以$\angle ADB = \angle ADC = 90{^\circ}$。
在$\bigtriangleup ABD$和$\bigtriangleup ACD$中，
因为$\left\{ \begin{matrix} \angle B = \angle C, \\ \angle ADB = \angle ADC, \\AD = AD. \end{matrix} \right.$
所以$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACD(AAS)$。
所以$AB = AC$。