《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1 设$A= \sqrt [3]{m},B= \sqrt {2n+1}$,且$A+B= 0$,则$m+n$的值有( )

A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.无数种

答案： D　[解析]
∵$A+B=0$，
∴$A$与$B$互为相反数.例如：$A=−2$，$B=2$；$A=−3$，$B=3$. 即$m=−8$，$2n+1=4$；$m=−27$，$2n+1=9$；... ，
∴只要满足$m=-(2n+1)\sqrt {2n+1}$，且$2n+1≥0$即可，
∴$m+n$的值有无数种，故选D.

2 [中]若$\sqrt [3]{x+5}-5= x$,则$x= $____.

答案： −4或−5或−6
思路分析：$\sqrt [3]{x+5}-5=x$整理得$\sqrt [3]{x+5}=x+5$，分类讨论求得$x$，立方根等于本身的数：1，−1，0
[解析]
∵$\sqrt [3]{x+5}-5=x$，
∴$\sqrt [3]{x+5}=x+5$.
∵立方根等于本身的数有1，−1，0，
∴$x+5=1$或$x+5=−1$或$x+5=0$，
∴$x=−4$或$x=−6$或$x=−5$.

3 [2025 湖南常德期末,中]若一个正数 x 的平方根是$\sqrt [3]{17-a}和\sqrt [3]{3a-1}$,则$\sqrt [3]{a}$的值为____.

答案： −2　[解析]
∵一个正数$x$的平方根是$\sqrt [3]{17-a}$和$\sqrt [3]{3a-1}$，
∴$\sqrt [3]{17-a}$和$\sqrt [3]{3a-1}$互为相反数，
∴$17-a$与$3a-1$互为相反数，即$17-a+3a-1=0$，解得$a=−8$，
∴$\sqrt [3]{a}$的值为$−2$，故答案为$−2$.

4 [2025 浙江温州期中,中]底面积为$108cm^{2}$,高为 19 cm 的圆柱形容器内有若干水,水位高度为$h_{1}$,现将一个棱长为 6 cm 的大立方体铁块水平放入容器底部,大立方体完全没入水中(如图(1)).再将一个棱长为 a cm 的小立方体铁块水平放在大立方体上面,小立方体只有一半没入水中(如图(2)).此时水位高度为$h_{2}$,且$h_{2}-h_{1}= \frac {62}{27}cm$,则$a= $____cm.

答案： 4　[解析]由题意得，题图
(2)中没入水中的立方体的体积之和为$108×\frac{62}{27}=248(cm^{3})$.
∵大立方体的体积为$6×6×6=216(cm^{3})$，
∴小立方体没入水中的部分体积为$248−216=32(cm^{3})$，
∴小立方体的体积为$2×32=64(cm^{3})$，
∴$a=\sqrt [3]{64}=4$. 故答案为4.

5 [较难]观察下列各式:$\sqrt [3]{2+\frac {2}{7}}= 2\sqrt [3]{\frac {2}{7}},\sqrt [3]{3+\frac {3}{26}}= 3\sqrt [3]{\frac {3}{26}},\sqrt [3]{4+\frac {4}{63}}= 4\sqrt [3]{\frac {4}{63}}... ... $
用含 n(n≥2 且 n 为整数)的等式表示上述规律为____.

答案： $\sqrt [3]{n+\frac {n}{n^{3}-1}}=n\sqrt [3]{\frac {n}{n^{3}-1}}$　[解析]
∵$\sqrt [3]{2+\frac {2}{7}}=\sqrt [3]{2+\frac {2}{2^{3}-1}}=2\sqrt [3]{\frac {2}{2^{3}-1}}$，$\sqrt [3]{3+\frac {3}{26}}=\sqrt [3]{3+\frac {3}{3^{3}-1}}=3\sqrt [3]{\frac {3}{3^{3}-1}}$，$\sqrt [3]{4+\frac {4}{63}}=\sqrt [3]{4+\frac {4}{4^{3}-1}}=4\sqrt [3]{\frac {4}{4^{3}-1}}$，... ，
∴$\sqrt [3]{n+\frac {n}{n^{3}-1}}=n\sqrt [3]{\frac {n}{n^{3}-1}}$.

6 [较难]M 是个位数字不为零的两位数,将 M 的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数 N,若 M-N 恰是某正整数的立方,则这样的数共有____个.

答案： 6　[解析]设两位数$M=10a+b$，则$N=10b+a$.
　因为$a$，$b$为正整数，且$1≤a≤9$，$1≤b≤9$，所以$M−N=(10a+b)−(10b+a)=9(a−b)$. 令$M−N=c^{3}$. 因为$c$是正整数，显然$c^{3}＜100$，所以$c≤4$，且$c^{3}$是$9$的倍数，所以$c=3$，则$a−b=3$，且$a−b≥0$，所以满足条件的两位数有41，52，63，74，85，96，共6个. 故答案为6.

7 [2025 山东济宁质检]已知$M= \sqrt {3x+2y}$是 25 的算术平方根,$7x+10y-1$的平方根为±7,$N= \sqrt [3]{-20x-40y}$,求$\frac {M}{N}$的立方根.

答案： [解]
∵$M=\sqrt {3x+2y}$是25的算术平方根，$7x+10y−1$的平方根为$\pm 7$，
∴$M=\sqrt {3x+2y}=\sqrt {25}=5$，$\begin{cases}3x + 2y = 25\\7x + 10y - 1 = (\pm 7)^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{75}{8}\\y = -\frac{25}{16}\end{cases}$，
∴$N=\sqrt [3]{-20x-40y}=\sqrt [3]{-20×\frac{75}{8}-40×(-\frac{25}{16})}=\sqrt [3]{-125}=-5$，
∴$\frac{M}{N}=\frac{5}{-5}=-1$，
∴$\frac{M}{N}$的立方根为$−1$.

8 [中]对于结论:当$a+b= 0$时,$a^{3}+b^{3}= 0$也成立.若将 a 看成$a^{3}$的立方根,将 b 看成$b^{3}$的立方根,由此得出这样的结论:“如果两个数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数”.
(1)试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立;
(2)若$\sqrt [3]{3-2x}与\sqrt [3]{x+5}$的值互为相反数,求$1-\sqrt {2x}$的值.

答案： [解]
(1)成立.(举例不唯一)如$\sqrt [3]{8}+\sqrt [3]{-8}=0$，8与−8互为相反数.
(2)由已知，得$(3−2x)+(x+5)=0$，解得$x=8$，所以$1−\sqrt {2x}=1−\sqrt {16}=1−4=−3$.

9 [2024 北京西城区期中,较难]观察下列计算过程,猜想立方根.
$1^{3}= 1,2^{3}= 8,3^{3}= 27,4^{3}= 64,5^{3}= 125,6^{3}= 216,7^{3}= 343,8^{3}= 512,9^{3}= 729.$
(1)小明是这样求出 19683 的立方根的.先估计 19683 的立方根的个位数,猜想它的个位数为____,又由$20^{3}＜19000＜30^{3}$猜想 19683 的立方根的十位数为____,可得 19683 的立方根.
(2)请你根据(1)中小明的方法,计算:
①$\sqrt [3]{-117649}$的值;
②$\sqrt [3]{0.531441}$的值.

答案： [解]
(1)
∵19683的个位数是3，而$7^{3}=343$，个位数为3，
∴猜想19683的立方根的个位数为7. 又
∵$20^{3}＜19000＜30^{3}$，
∴猜想19683的立方根的十位数为2. 验证：$27^{3}=19683$. 故答案为7，2.
(2)①
∵−117649的个位数是9，而$9^{3}=729$，个位数为9，
∴猜想−117649的立方根的个位数为9. 又
∵$(-50)^{3}＜−117649＜(-40)^{3}$，
∴猜想−117649的立方根的十位数为4. 验证：$(-49)^{3}=−117649$，故$\sqrt [3]{-117649}=-49$.
　②
∵0.531441的末位数是1，而$1^{3}=1$，
∴猜想0.531441的立方根的末位数为1.
　又
∵$0.8^{3}＜0.531441＜0.9^{3}$，
∴猜想0.531441的立方根的十分位数为8. 验证：$0.81^{3}=0.531441$，故$\sqrt [3]{0.531441}=0.81$.