《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1 [2025 上海虹口区期中,中]若 $ a $,$ b $ 均为正整数,且满足 $ 2 ^ { a } + 2 ^ { a } + 2 ^ { a } + 2 ^ { a } = 2 ^ { b } × 2 ^ { b } × 2 ^ { b } × 2 ^ { b } $,则 $ a $ 与 $ b $ 的关系正确的是 ( )

A.$ a = 2 b $
B.$ 2 a = b + 4 $
C.$ a + 2 = b ^ { 4 } $
D.$ a + 2 = 4 b $

答案： D 【解析】$2^{a}+2^{a}+2^{a}+2^{a}=2^{a}×4=2^{a}×2^{2}=2^{a+2},$$2^{b}×2^{b}×2^{b}×2^{b}=(2^{b})^{4}=2^{4b}.\because 2^{a}+2^{a}+2^{a}+2^{a}=$$2^{b}×2^{b}×2^{b}×2^{b}$,a,b 均为正整数,$\therefore a+2=4b$,故选 D.

2 [2025 四川眉山期末,中]已知 $ 8 ^ { m } = a $,$ 16 ^ { n } = b $,其中 $ m $,$ n $ 为正整数,则 $ 2 ^ { 3 m + 12 n } $ 的值为 ( )

A.$ a b ^ { 2 } $
B.$ a + b ^ { 2 } $
C.$ a b ^ { 3 } $
D.$ a + b ^ { 3 } $

答案： C 【解析】$\because 8^{m}=a,16^{n}=b,\therefore 8^{m}=(2^{3})^{m}=$$2^{3m}=a,16^{n}=(2^{4})^{n}=2^{4n}=b,\therefore 2^{3m+12n}=2^{3m}\cdot$$2^{12n}=2^{3m}\cdot (2^{4n})^{3}=ab^{3}$,故选 C.

3 [中]已知 $ 10 ^ { a } = 20 $,$ 100 ^ { b } = 50 $,则 $ \frac { 1 } { 2 } a + b + \frac { 3 } { 2 } $ 的值是 ( )

A.2
B.$ \frac { 5 } { 2 } $
C.3
D.$ \frac { 9 } { 2 } $

答案： C 【解析】$\because 10^{a}×100^{b}=10^{a}×10^{2b}=10^{a+2b}=20×$$50=1000=10^{3},\therefore a+2b=3,\therefore $原式$=\frac {1}{2}(a+$$2b+3)=\frac {1}{2}×(3+3)=3$,故选 C.

4 [中]设 $ a = 2 ^ { 55 } $,$ b = 3 ^ { 33 } $,$ c = 4 ^ { 22 } $,则 $ a $,$ b $,$ c $ 的大小关系是 ( )

A.$ c ＜ a ＜ b $
B.$ a ＜ b ＜ c $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案： D 【解析】$\because a=2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11},b=3^{33}=$$(3^{3})^{11}=27^{11},c=4^{22}=(4^{2})^{11}=16^{11},\therefore c\lt b\lt a.$故选 D.

5 新考法 [2025 江苏苏州质检,中]设 $ n $ 为正整数,若 $ 64 ^ { n } - 7 ^ { n } $ 能被 57 整除,则 $ 8 ^ { 2 n + 1 } + 7 ^ { n + 2 } $ 能被下列哪个数整除 ( )

A.55
B.56
C.57
D.58

答案： C 【解析】$8^{2n+1}+7^{n+2}=8×8^{2n}+7^{2}×7^{n}=8×$$(8^{2})^{n}+7^{2}×7^{n}=8×64^{n}+49×7^{n}=8×64^{n}+(57-$$8)×7^{n}=8×64^{n}-8×7^{n}+57×7^{n}=8×(64^{n}-7^{n})+$$57×7^{n}.\because 64^{n}-7^{n}$能被 57 整除,$\therefore 8×(64^{n}-7^{n})$也能被 57 整除. 又$\because 57×7^{n}$能被 57 整除,$\therefore 8×(64^{n}-7^{n})+57×7^{n}$也能被 57 整除,即$8^{2n+1}+7^{n+2}$能被 57 整除,故选 C.

6 [2025 浙江嘉兴质检,较难]若 $ 2 ^ { a } = 8 $,$ 8 ^ { b } = 9 $,$ 3 ^ { c } = 6 $,$ 36 ^ { d } = 4 $,则 $ \sqrt { a b c d } $ 的值是 ( )

A.2
B.$ \sqrt { 2 } $
C.3
D.$ \sqrt { 3 } $

答案： B 【解析】$\because 2^{a}=8,8^{b}=9,\therefore (2^{a})^{b}=2^{ab}=9.$$\because 3^{c}=6,\therefore (3^{c})^{2}=6^{2}$,即$3^{2c}=36.\because 36^{d}=4,$$\therefore (3^{2c})^{d}=3^{2cd}=4$,即$9^{d}=4.\because 2^{ab}=9,$$\therefore (2^{ab})^{cd}=4$,即$2^{abcd}=2^{2},\therefore abcd=2,\therefore \sqrt {abcd}$的值是$\sqrt {2}$. 故选 B.

7 [中]若 $ 3 x + 2 y - 3 = 0 $,则 $ 8 ^ { x } \cdot 4 ^ { y } $ 等于____。

答案： 8 【解析】$\because 3x+2y-3=0,\therefore 3x+2y=3,\therefore 8^{x}\cdot$$4^{y}=2^{3x}\cdot 2^{2y}=2^{3x+2y}=2^{3}=8$. 故答案为 8.

8 [2025 湖北襄阳期中,中]若 $ a ^ { 2 m } = 3 $,$ b ^ { 3 n } = 2 $,则 $ ( a ^ { 3 m } ) ^ { 2 } - ( b ^ { 2 n } ) ^ { 3 } = $____。

答案： 23 【解析】当$a^{2m}=3,b^{3n}=2$时,$(a^{3m})^{2}-$$(b^{2n})^{3}=(a^{2m})^{3}-(b^{3n})^{2}=3^{3}-2^{2}=27-4=23$. 故答案为 23.

9 [中]已知 $ 3 ^ { x } = m $,$ 3 ^ { y } = n $,则 $ 3 ^ { 3 x + 4 y } - 5 × 81 ^ { x + 2 y } $ 用含 $ m $,$ n $ 的式子表示为____。

答案： $m^{3}n^{4}-5m^{4}n^{8}$ 【解析】$\because 3^{x}=m,3^{y}=n,$$\therefore 3^{3x+4y}-5×81^{x+2y}=3^{3x}\cdot 3^{4y}-5×(3^{4})^{x+2y}=$$(3^{x})^{3}\cdot (3^{y})^{4}-5×3^{4x+8y}=(3^{x})^{3}\cdot (3^{y})^{4}-5×$$(3^{x})^{4}×(3^{y})^{8}=m^{3}n^{4}-5m^{4}n^{8}$. 故答案为$m^{3}n^{4}-5m^{4}n^{8}.$

10 [2025 山东菏泽期中,中]新定义：$ a * b = ( a ^ { b } ) ^ { m } + ( b ^ { a } ) ^ { n } $($ a $,$ b $,$ m $,$ n $ 均为正整数),例如：$ 3 * 2 = ( 3 ^ { 2 } ) ^ { m } + ( 2 ^ { 3 } ) ^ { n } $。若 $ 1 * 4 = 8 $,$ 2 * 2 = 10 $,则 $ 4 ^ { 2 m + n } $ 的值为____。

答案： 63 【解析】$\because a*b=(a^{b})^{m}+(b^{a})^{n}(a,b,m,n$均为正整数),$\therefore 1*4=(1^{4})^{m}+(4^{1})^{n}=1+$$4^{n}=8,2*2=(2^{2})^{m}+(2^{2})^{n}=4^{m}+4^{n}=10,$$\therefore 4^{n}=7,4^{m}=3,\therefore 4^{2m+n}=4^{2m}\cdot 4^{n}=(4^{m})^{2}×$$4^{n}=3^{2}×7=9×7=63.$

11 [中]规定两数 $ a $,$ b $ 之间的一种运算,记作 $ ( a, b ) $,如果 $ a ^ { c } = b $,那么 $ ( a, b ) = c $。例如：因为 $ 2 ^ { 3 } = 8 $,所以 $ ( 2, 8 ) = 3 $。
(1) 根据上述规定,填空：$ ( 3, 9 ) = $____,$ ( 5, 125 ) = $____,$ ( - \frac { 1 } { 2 }, \frac { 1 } { 16 } ) = $____,$ ( - 2, - 32 ) = $____。
(2) 令 $ ( 4, 5 ) = a $,$ ( 4, 6 ) = b $,$ ( 4, 30 ) = c $,试说明等式：$ ( 4, 5 ) + ( 4, 6 ) = ( 4, 30 ) $ 成立的理由。
(3) 试说明：$ ( 2 ^ { n }, 3 ^ { n } ) = ( 2, 3 ) $ 对于任意正整数 $ n $ 都成立。

答案： 【解】
(1)$\because 3^{2}=9,5^{3}=125,(-\frac {1}{2})^{4}=\frac {1}{16},$$(-2)^{5}=-32,\therefore (3,9)=2,(5,125)=3,$$(-\frac {1}{2},\frac {1}{16})=4,(-2,-32)=5$,故答案为 2,3,4,5.
(2)$\because (4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,$$\therefore 4^{a}=5,4^{b}=6,4^{c}=30.\because 5×6=30,\therefore 4^{a}×4^{b}=$$4^{c},\therefore 4^{a+b}=4^{c},\therefore a+b=c,\therefore (4,5)+(4,6)=$$(4,30).$
(3)设$(2^{n},3^{n})=a,(2,3)=b,\therefore (2^{n})^{a}=3^{n},$$2^{b}=3,\therefore (2^{n})^{a}=(2^{b})^{n}$,即$2^{an}=2^{bn},\therefore an=bn.$$\because n$为正整数,$\therefore a=b,\therefore (2^{n},3^{n})=(2,3)$,即$(2^{n},3^{n})=(2,3)$对于任意正整数 n 都成立.

12 [2025 福建泉州期中,中]阅读下列材料：若 $ m ^ { 3 } = 2 $,$ n ^ { 4 } = 3 $,且 $ n ＞ 0 $,比较 $ m $,$ n $ 的大小。
解：因为 $ m ^ { 12 } = ( m ^ { 3 } ) ^ { 4 } = 2 ^ { 4 } = 16 $,$ n ^ { 12 } = ( n ^ { 4 } ) ^ { 3 } = 3 ^ { 3 } = 27 $,$ 27 ＞ 16 $,所以 $ n ^ { 12 } ＞ m ^ { 12 } $,所以 $ n ＞ m $。
依照上述方法解答下列问题：
(1) 若 $ x ^ { 2 } = 2 ( x ＞ 0 ) $,$ y ^ { 3 } = 3 $,则 $ x $____$ y $(填“＞”“＜”或“=”)。
(2) 若 $ a ＞ 0 $,$ b ＞ 0 $,且满足 $ a ^ { 4 } = 3 $,$ b ^ { 6 } = 4 $,试比较 $ a $ 与 $ b $ 的大小。

答案： 【解】
(1)$\because x^{2}=2,\therefore x^{6}=(x^{2})^{3}=2^{3}=8.\because y^{3}=$$3,\therefore y^{6}=(y^{3})^{2}=3^{2}=9.\because 8＜9,$$\therefore x^{6}\lt y^{6},\therefore x\lt y$. 故答案为 ＜.
(2)$\because a^{4}=3,\therefore a^{12}=(a^{4})^{3}=3^{3}=27.\because b^{6}=4,$$\therefore b^{12}=(b^{6})^{2}=4^{2}=16.\because 27＞16,$$\therefore a^{12}＞b^{12}.\because a＞0,b＞0,\therefore a＞b.$