《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1 [2025 湖北宜昌质检,中]从前,古希腊一位庄园主把一块边长为$a米(a ＞ 6)$的正方形土地租给租户张老汉.第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边增加6米,相邻的另一边减少6米,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积( )

A.没有变化
B.变大了
C.变小了
D.无法确定

答案： C 【解析】原来正方形土地的面积为$a^2$平方米，第二年长方形土地的面积为$(a+6)(a-6)=(a^2-36)$平方米.
∵$(a^2-36)-a^2=-36＜0$，
∴面积变小了，故选 C.

2 [中]某同学在计算$3(4 + 1)(4^2 + 1)$时,把3写成4 - 1后,发现可以连续运用平方差公式计算:$3(4 + 1)(4^2 + 1) = (4 - 1)\cdot(4 + 1)(4^2 + 1) = (4^2 - 1)(4^2 + 1) = 16^2 - 1 = 255$. 请借鉴该同学的经验,计算:$(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})\cdot(1 + \frac{1}{2^4})(1 + \frac{1}{2^8}) + \frac{1}{2^{15}} = $( )

A.$2 - \frac{1}{2^{16}}$
B.$2 + \frac{1}{2^{16}}$
C.1
D.2

答案： D 【解析】原式$=2×\left( 1-\frac{1}{2} \right)×\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{2^2} \right)\left( 1+\frac{1}{2^4} \right)\left( 1+\frac{1}{2^8} \right)+\frac{1}{2^{15}}=2×\left( 1-\frac{1}{2^2} \right)\left( 1+\frac{1}{2^2} \right)\cdot\left( 1+\frac{1}{2^4} \right)\left( 1+\frac{1}{2^8} \right)+\frac{1}{2^{15}}=2×\left( 1-\frac{1}{2^4} \right)\left( 1+\frac{1}{2^4} \right)\left( 1+\frac{1}{2^8} \right)+\frac{1}{2^{15}}=2×\left( 1-\frac{1}{2^8} \right)\left( 1+\frac{1}{2^8} \right)+\frac{1}{2^{15}}=2×\left( 1-\frac{1}{2^{16}} \right)+\frac{1}{2^{15}}=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}=2$. 故选 D.

3 [新考法][2025 湖南长沙期末,中]如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差,那么这个正整数就称为“智慧数”,例如:$7 = 7×1 = (4 + 3)×(4 - 3) = 4^2 - 3^2,7$就是一个“智慧数”；$8 = 4×2 = (3 + 1)×(3 - 1) = 3^2 - 1^2,8$也是一个“智慧数”,则下列各数不是“智慧数”的是( )

A.2021
B.2022
C.2023
D.2024

答案： B 【解析$】2021=2021×1=(1011+1010)×(1011-1010)=1011^2-1010^2，$故 2021 是“智慧数”，A 选项不符合题意；2022 不能表示成两个正整数的平方差，故 2022 不是“智慧数”，B 选项符合题意；$2023=2023×1=(1012+1011)×(1012-1011)=1012^2-1011^2，$故 2023 是“智慧数”，C 选项不符合题意；$2024=1012×2=(507+505)×(507-505)=507^2-505^2，$故 2024 是“智慧数”，D 选项不符合题意. 故选 B.

4 [2025 上海虹口区质检,中]计算:$(-99\frac{7}{8})×100\frac{1}{8} = $____.

答案： $-9999\frac{63}{64}$ 【解析】$\left( -99\frac{7}{8} \right)×100\frac{1}{8}=\left( \frac{1}{8}-100 \right)×\left( \frac{1}{8}+100 \right)=\left( \frac{1}{8} \right)^2-100^2=\frac{1}{64}-10000=-9999\frac{63}{64}$，故答案为$-9999\frac{63}{64}$.

5 [2025 北京海淀区期中,中]在月历中,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)图(2)是2024年8月份的月历,我们用如图(1)所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数(如图(2)中的阴影部分),将“Z”字形框架位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减.
例如:$5×19 - 4×20,2×16 - 1×17$,不难发现,结果都等于____.
(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为$x$,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)如图(3),在某月历中,用正方形方框框住9个数(阴影部分),如果最小的数和最大的数的乘积为57,那么中间位置上的数$a = $____.

答案：
(1)15 【解】5×19-4×20=15，2×16-1×17=15，不难发现，结果都是 15，故答案为 15.
(2)【证明】“Z”字形框架中位置 C 上的数为 x，则 A，B，D，E 四个位置上的数依次为$x-8$，$x-7$，$x+7$，$x+8$，由题意得$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=(x^2-49)-(x^2-64)=x^2-49-x^2+64=15$.
(3)11 【解】中间位置上的数为 a，则最小的数为$a-8$，最大的数为$a+8$. 由题意得$(a-8)(a+8)=57$，
∴$a^2-64=57$，即$a^2=121$，解得$a=11$或$-11$(舍去)，
∴$a=11$，故答案为 11.

6 [2025 北京海淀区期中,中]在学习整式的乘除这一章时,我们经常利用图形面积得到关于整式乘法的等式.

(1)如图(1),在边长为$a$的大正方形中,剪去一个边长为3的小正方形,将余下的部分按图(1)中的虚线剪开后,拼成如图(2)所示的长方形,根据两个图形阴影部分面积相等的关系,可验证的等式为____;
(2)小明用四个如图(3)所示的小长方形$(m ＞ n)$,拼成如图(4)所示的大正方形.
①根据图(4)的图形面积,可以得到的等式是____;
②利用①中的等式,解决问题:若$mn = 16,m - n = 6$,求如图(3)所示的小长方形的周长.

答案： 【解】
(1)由题图
(1)得阴影部分面积为$a^2-3^2$，由题图
(2)得阴影部分面积为$(a+3)(a-3)$，根据面积相等，可得$(a+3)(a-3)=a^2-3^2$，故答案为$(a+3)(a-3)=a^2-3^2$.
(2)①四个小长方形的面积为$4mn$，由题图
(4)可得四个小长方形的面积为$(m+n)^2-(m-n)^2$，根据面积相等，可得$4mn=(m+n)^2-(m-n)^2$，故答案为$4mn=(m+n)^2-(m-n)^2$.
②
∵$4mn=(m+n)^2-(m-n)^2$，$mn=16$，$m-n=6$，
∴$4×16=(m+n)^2-6^2$，
∴$m+n=10$，
∴小长方形的周长为$2(m+n)=20$.