《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

8 ＜核心素养 几何直观＞[较难](1)从图(1)~(3)中任意选择一个,通过计算图中阴影部分的面积,可得到关于$a$,$b$的等量关系是______。
(2)尝试解决：①已知：$m + n = 2$,$m^2 + n^2 = 7$,则$mn = $______；
②已知：$2a + b = 3$,$ab = 1$,求$(2a - b)^2$的值；
③已知：$(4 - x)(5 - x) = 6$,求$(4 - x)^2 + (5 - x)^2$的值。
(3)填数游戏：如图(4),把数字 1~9 填入构成三角形形状的 9 个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于 21,将每边上四个数字的平方和分别记作$A$,$B$,$C$,已知$A + B + C = 411$。如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x$,$y$,$x + y$,求$xy$的值。

答案： 8.[解]
(1)题图
(1)：$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$；题图
(2)：$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$；题图
(3)：$4ab=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$.故答案为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$(或$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$或$4ab=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$).
(2)①
∵$m + n = 2$，
∴$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=4$.
∵$m^{2}+n^{2}=7$，
∴$7 + 2mn = 4$，
∴$mn=-\frac{3}{2}$，故答案为$-\frac{3}{2}$.②
∵$(2a - b)^{2}=(2a + b)^{2}-8ab$，$2a + b = 3$，$ab = 1$，
∴$(2a - b)^{2}=3^{2}-8×1 = 1$.③$(4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}=[(4 - x)-(5 - x)]^{2}+2(4 - x)(5 - x)=1 + 2(4 - x)(5 - x)=1 + 2×6 = 13$.
(3)数字1~9的和为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.
∵各边上的四个数字的和都等于21，
∴$21×3 - 45 = 18$，
∴$x + y+(x + y)=18$，即$x + y = 9$.
∵每边上四个数字的平方和分别记作$A$，$B$，$C$，且$A + B + C = 411$，$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285$，
∴$x^{2}+y^{2}+(x + y)^{2}=411 - 285 = 126$，
∴$x^{2}+y^{2}+81 = 126$，
∴$x^{2}+y^{2}=45$，
∴$(x + y)^{2}-2xy = 45$，
∴$xy = 18$.

1 [2025 湖南衡阳期中,中]已知$(a + b)^2 = 9$,$(a - b)^2 = 25$,求$a^2 + b^2与ab$的值。

答案： 1.[解]
∵$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab = 9$ ①，$(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 25$ ②，
∴① + ②，得$2(a^{2}+b^{2})=34$，即$a^{2}+b^{2}=17$.① - ②，得$4ab=-16$，即$ab = - 4$.

2 [2025 广东河源校级期中,中]已知$x - y = 5$,$xy = 2$,求$x^2 + y^2及(x + y)^2 - 6$的值。

答案： 2.[解]
∵$x - y = 5$，$xy = 2$，
∴$x^{2}+y^{2}=(x - y)^{2}+2xy=5^{2}+2×2 = 29$.$(x + y)^{2}-6=(x - y)^{2}+4xy - 6=5^{2}+2×4 - 6=25 + 8 - 6 = 27$.

3 [2025 江西吉安质检,中]两个不相等的实数$m$,$n满足m^2 + n^2 = 40$,$m + n = -4$。
(1)求$mn$的值；
(2)求$m - n$的值。

答案： 3.[解]
(1)
∵$m^{2}+n^{2}=40$，$m + n=-4$，
∴$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=40 + 2mn = 16$，
∴$mn=-12$.
(2)由
(1)得$mn=-12$，
∵$m^{2}+n^{2}=40$，
∴$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}=40 + 24 = 64$，
∴$m - n = 8$或$m - n=-8$.

1 [2025 四川成都期末,中]已知$m - \frac{1}{m} = 5$,则$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值为______。

答案： 1.27 【解析】将$m-\frac{1}{m}=5$两边平方得$m^{2}-2× m×\frac{1}{m}+\frac{1}{m^{2}}=25$，$\therefore m^{2}-2+\frac{1}{m^{2}}=25$，$\therefore m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=25+2=27$，故$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$的值为 27.

2 [2025 浙江宁波调研,中]已知$a + \frac{1}{a} = -2$,则$a^4 + \frac{1}{a^4} = $______。

答案： 2.2 【解析】$a+\frac{1}{a}=-2$，两边平方得$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2=4$，即$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=2$，再将其两边进行平方得$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}+2=4$，即$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=2$. 故答案为 2.