《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

8 核心素养推理能力[较难]定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)如图(1),在△ABC中,AB= AC,点D在AC边上,且AD= BD= BC,求∠A的大小.
(2)在图(1)中过点C作一条线段CE,交BD于E,使BD,CE是△ABC的三分线；在图(2)中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数(作出一个即可,提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.).
(3)在△ABC中,∠B= 30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD= BD,DE= CE,请直接写出∠C的度数.

答案：

(1)【解】
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C。
∵BD = BC = AD，
∴∠A = ∠ABD，∠C = ∠BDC。设∠A = ∠ABD = x，则∠BDC = 2x，∠C = (180° - x)/2，可得2x = (180° - x)/2，解得x = 36°，
∴∠A = 36°。
(2)【解】如图
(1)，线段CE即为所作。如图
(2)、图
(3)即为所作的顶角为45°的等腰三角形的三分线。(图
(2)、图
(3)回答一个即可)

(3)【解】∠C的度数为20°或40°。设∠C = x。
∵BD = AD，DE = CE，∠B = 30°，
∴∠BAD = ∠B = 30°，∠CDE = ∠C = x，∠AED = 2x。①当AD = AE时，如图
(4)，则∠ADE = 2x。
∵2x + x = 30° + 30°，
∴x = 20°。②当AD = DE时，如图
(5)，则∠DAE = ∠AED = 2x。
∵30° + 30° + 2x + x = 180°，
∴x = 40°。综上，∠C的度数为20°或40°。

[2025浙江宁波校级期末,中]如图(1),P为∠AOB的平分线OC上一点,过点P作PD//OB交OA于点D,易得△POD为等腰三角形.
(1)【基本运用】如图(2),把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则△ACE是等腰三角形吗？为什么？
(2)【类比探究】如图(3),∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG的平分线交于点O,过点O作OD//BC分别交AB,AC于点D,E,试探究线段BD,DE,CE之间的数量关系并说明理由.
(3)【拓展提升】如图(4),四边形ABCD中,AD//BC,E为CD边的中点,AE平分∠BAD,连结BE,求证：AE⊥BE.

答案：

(1)【解】△ACE是等腰三角形。理由：在长方形ABCD中，
∵DC//AB，
∴∠ACD = ∠BAC。由折叠性质可得∠BAC = ∠B'AC，
∴∠ACD = ∠B'AC，
∴AE = CE，
∴△ACE是等腰三角形。
(2)【解】BD = DE + CE。理由：根据题意可证，△BDO为等腰三角形，即BD = OD。
∵CO平分∠ACG，DO//BC，
∴∠OCG = ∠ECO = ∠EOC，
∴△COE为等腰三角形，即CE = OE，
∴BD = DO = DE + EC，即BD = DE + CE。
(3)【证明】如图所示，延长AE交BC延长线于F。
∵AD//BC，
∴∠F = ∠DAE，∠D = ∠ECF。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF = ∠DAF，
∴∠BAF = ∠BFA，
∴BA = BF。
∵E是CD的中点，
∴DE = CE。在△ADE和△FCE中，{∠ADE = ∠FCE，∠DAE = ∠CFE，DE = CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AE = EF，
∴BE⊥AE。