《2025年初中必刷题八年级数学上册华师大版》

1[2024山西中考]下列运算正确的是 ( )

A.$2m + n = 2mn$
B.$m^{6} ÷ m^{2} = m^{3}$
C.$(-mn)^{2} = -m^{2}n^{2}$
D.$m^{2} \cdot m^{3} = m^{5}$

答案： D 【解析】A 2m与n不是同类项，不能合并 ×；B $m^{6}÷ m^{2}=m^{4}$ ×；C $(-mn)^{2}=m^{2}n^{2}$ ×；D $m^{2}\cdot m^{3}=m^{5}$ √

2[2024河北中考]若$a$,$b$是正整数,且满足$\underbrace{2^{a} + 2^{a} + … + 2^{a}}_{8个2^{a}相加} = \underbrace{2^{b} × 2^{b} × … × 2^{b}}_{8个2^{b}相乘}$,则$a与b$的关系正确的是( )

A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^{8}$
D.$3a = 8 + b$

答案： A 【解析】由题意得$8× 2^{a}=(2^{b})^{8},\therefore 2^{3}× 2^{a}=2^{8b},\therefore 3+a=8b$.故选A.

3[2023陕西中考]计算：$6xy^{2} \cdot (-\frac{1}{2}x^{3}y^{3}) = ( ) )A. 3x^{4}y^{5} B. -3x^{4}y^{5} C. 3x^{3}y^{6} D. -3x^{3}y^{6}$

答案： B 【解析】$6xy^{2}\cdot (-\frac {1}{2}x^{3}y^{3})=6× (-\frac {1}{2})x^{1+3}y^{2+3}=-3x^{4}y^{5}$.故选B.

4[2023四川泸州中考]下列运算正确的是( )

A.$m^{3} - m^{2} = m$
B.$3m^{2} \cdot 2m^{3} = 6m^{5}$
C.$3m^{2} + 2m^{3} = 5m^{5}$
D.$(2m^{2})^{3} = 8m^{5}$

答案： B 【解析】A选项，原式不能合并，不符合题意；B选项$3m^{2} \cdot 2m^{3} = 6m^{5}$，符合题意；C选项，原式不能合并，不符合题意；D选项$(2m^{2})^{3} =8m^{6}$，不符合题意.故选B.

5[2024四川成都中考]下列计算正确的是 ( )

A.$(3x)^{2} = 3x^{2}$
B.$3x + 3y = 6xy$
C.$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$
D.$(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$

答案： D 【解析】

6[2024四川乐山中考]已知$a - b = 3$,$ab = 10$,则$a^{2} + b^{2} = $______.

答案： 29 【解析】$\because a - b = 3,ab = 10,\therefore a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab=9 + 20 = 29$，故答案为29.

7[2023江苏宿迁中考]若实数$m满足(m - 2023)^{2} + (2024 - m)^{2} = 2025$,则$(m - 2023) \cdot (2024 - m) = $______.

答案： -1012 【解析】$\because (m - 2023)^{2}+(2024 - m)^{2}=2025,\therefore 2(m - 2023)(2024 - m)=[(m - 2023)+(2024 - m)]^{2}-[(m - 2023)^{2}+(2024 - m)^{2}]=1 - 2025 = - 2024,\therefore (m - 2023)(2024 - m)= - 1012$，故答案为 - 1012.

8[2024甘肃武威中考]先化简,再求值：$[(2a + b)^{2} - (2a + b)(2a - b)] ÷ 2b$,其中$a = 2$,$b = -1$.

答案： 【解】$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷ 2b=[(4a^{2}+4ab + b^{2})-(4a^{2}-b^{2})]÷ 2b=(4a^{2}+4ab + b^{2}-4a^{2}+b^{2})÷ b=(4ab + b^{2})÷ 2b=2a + b$，当$a = 2,b = - 1$时，原式$=2× 2+(-1)=3$.

9[2024广西中考]如果$a + b = 3$,$ab = 1$,那么$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$的值为( )

A.$0$
B.$1$
C.$4$
D.$9$

答案： D 【解析】$\because a + b = 3,ab = 1,\therefore a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}+2ab + b^{2})=ab(a + b)^{2}=1× 3^{2}=9$，故选D.

10(1)[2024北京中考]分解因式：$x^{3} - 25x = $______.
(2)[2024内蒙古通辽中考]分解因式：$3ax^{2} - 6axy + 3ay^{2} = $______.
(3)[2024山东威海中考]因式分解：$(x + 2)(x + 4) + 1 = $______.

答案：
(1)$x(x + 5)(x - 5)$
(2)$3a(x - y)^{2}$
(3)$(x + 3)^{2}$ 【解析】
(1)$x^{3}-25x=x(x^{2}-25)=x(x + 5)(x - 5)$，故答案为$x(x + 5)(x - 5)$.
(2)$3ax^{2}-6axy + 3ay^{2}=3a(x^{2}-2xy + y^{2})=3a(x - y)^{2}$，故答案为$3a(x - y)^{2}$.
(3)原式$=x^{2}+4x + 2x + 8 + 1=x^{2}+6x + 9=(x + 3)^{2}$，故答案为$(x + 3)^{2}$.

11[2024山东淄博中考]若多项式$4x^{2} - mxy + 9y^{2}$能用完全平方公式因式分解,则$m$的值是______.

答案： ±12 【解析】
∵多项式$4x^{2}-mxy + 9y^{2}$能用完全平方公式因式分解，$\therefore -mxy=\pm 2× 2x× 3y$，则$-m=\pm 2× 2×=±12$解得$m=±12$，故答案为±12.

12新考法[2024福建中考]已知实数$a$,$b$,$c$,$m$,$n满足3m + n = \frac{b}{a}$,$mn = \frac{c}{a}$.
(1)试说明：$b^{2} - 12ac$为非负数；
(2)若$a$,$b$,$c$均为奇数,$m$,$n$是否可以都为整数？说明你的理由.

答案： 【解】
(1)$\because 3m + n=\frac {b}{a},mn=\frac {c}{a},\therefore b = a(3m + n),c = amn$，则$b^{2}-12ac=[a(3m + n)]^{2}-12a^{2}mn=a^{2}(9m^{2}+6mn + n^{2})-12a^{2}mn=a^{2}(9m^{2}-6mn + n^{2})=a^{2}(3m - n)^{2}$.
∵a,m,n是实数，$\therefore a^{2}(3m - n)^{2}\geq 0,\therefore b^{2}-12ac$为非负数.
(2)m,n不可以都为整数.理由如下：若m,n都为整数，其可能情况如下：①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数.①当m,n都为奇数时，$3m + n$必为偶数.$\because 3m + n=\frac {b}{a},\therefore b = a(3m + n)$.
∵a为奇数，$\therefore a(3m + n)$必为偶数，这与b为奇数矛盾.②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mn必为偶数.$\because mn=\frac {c}{a},\therefore c = amn$.
∵a为奇数，$\therefore amn$必为偶数，这与c为奇数矛盾，综上所述，m,n不可以都为整数.