《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 在平面直角坐标系中,对于点 $ P(x,y) $,我们把 $ P'(-y + 1,x + 1) $ 叫作点 $ P $ 的伴随点. 已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4 … … $ 这样依次得到点 $ A_1 $、$ A_2 $、$ A_3 $、…$ $、$ A_n $. 若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (a,b) $,则点 $ A_{2023} $ 的坐标为 (C)
A.$ (a,b) $
B.$ (-b + 1,a + 1) $
C.$ (-a,-b + 2) $
D.$ (b - 1,-a + 1) $

答案： C 解析:观察发现:${A}_{1}(a,b)$、${A}_{2}(-b+1,a+1)$、${A}_{3}(-a,-b+2)$、${A}_{4}(b-1,-a+1)$、${A}_{5}(a,b)$、${A}_{6}(-b+1,a+1)$、…,
∴以此类推,每4个点为一组循环.
∵2023÷4=505(组)……3(个),
∴点${A}_{2023}$的坐标与点${A}_{3}$的坐标相同,为$(-a,-b+2)$.

2. 在平面直角坐标系中,下列各点按顺序依次排列: $ (0,1) $、$ (1,0) $、$ (0,-1) $、$ (0,2) $、$ (2,0) $、$ (0,-2) $、$ (0,3) $、$ (3,0) $、$ (0,-3) $、…$ $. 这列点中,第 $ 2025 $ 个点的坐标为____(0, -675).

答案： (0, -675) 解析:通过观察，可知第3、6、9、12、...、$3n$（$n$为正整数）个点在$y$轴的负半轴上.
∵2025 = 3×675,
∴第2025个点在$y$轴的负半轴上.
∴第2025个点的坐标为(0, -675).

3. 已知 $ \triangle OA_1A_2 $、$ \triangle A_3A_4A_5 $、$ \triangle A_6A_7A_8 $、… 都是边长为 $ 2 $ 的等边三角形,按如图所示的方式摆放. 点 $ A_2 $、$ A_3 $、$ A_5 $、… 都在 $ x $ 轴正半轴上,且 $ A_2A_3 = A_5A_6 = A_8A_9 =… = 1 $,则点 $ A_{2023} $ 的坐标是(2023, $\sqrt{3}$).

答案： (2023, $\sqrt{3}$) 解析:过点${A}_{1}$作$x$轴的垂线，垂足为$B$.
∵$\triangle {A}_{1}{A}_{2}O$是边长为2的等边三角形,
∴$OB = B{A}_{2} = 1$,${A}_{1}B = \sqrt{{2}^{2} - {1}^{2}} = \sqrt{3}$.
∴点${A}_{1}$的横坐标为1,纵坐标为$\sqrt{3}$.由题意，可得点${A}_{2}$的横坐标为2,点${A}_{3}$的横坐标为3，点${A}_{4}$的横坐标为4……
∴点${A}_{2023}$的横坐标为2023.由题图，易得点的纵坐标每6个为一组循环.
∵2023÷6 = 337(组)……1(个),
∴点${A}_{2023}$的纵坐标与点${A}_{1}$的纵坐标相同，为$\sqrt{3}$.
∴点${A}_{2023}$的坐标是(2023, $\sqrt{3}$).

4. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(1,1) $、$ B(3,1) $、$ C(3,3) $、$ D(1,3) $,动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度沿 $ A \to B \to C \to D \to A …\to $ 的路线运动,当运动到第 $ 87 $ 秒时,点 $ P $ 的坐标为 (D)
A.$ (3,2) $
B.$ (2,3) $
C.$ (2,1) $
D.$ (1,2) $

答案： D

5. 在平面直角坐标系中,动点 $ P $ 从点 $ (0,3) $ 出发,沿如图所示的方向运动,每当碰到长方形 $ OABC $ 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角. 记点 $ P $ 第 $ 1 $ 次碰到长方形的边时的点为 $ P_1(3,0) $,第 $ 2 $ 次碰到长方形的边时的点为 $ P_2(7,4) … … $ 当点 $ P $ 第 $ 2024 $ 次碰到长方形的边时,点 $ P_{2024} $ 的坐标为 ( )


A.$ (0,3) $
B.$ (7,4) $
C.$ (8,3) $
D.$ (1,4) $

答案：
B 解析:根据题意画出图形如图所示.
∵${P}_{1}(3,0)$、${P}_{2}(7,4)$,
∴${P}_{3}(8,3)$、${P}_{4}(5,0)$、${P}_{5}(1,4)$、${P}_{6}(0,3)$、${P}_{7}(3,0)$、...
∴每6个点为一组循环.
∵2024÷6 = 337(组)……2(个),
∴点${P}_{2024}$的坐标为(7,4).

6. 一只电子青蛙从平面直角坐标系中的点 $ A_1(a,b) $ 处出发,第 $ 1 $ 次跳到点 $ A_1 $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ A_2 $ 处,第 $ 2 $ 次跳到点 $ A_2 $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A_3 $ 处,第 $ 3 $ 次跳到点 $ A_3 $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ A_4 $ 处 ……$ $ 按以上规律继续跳动下去.
(1) 写出这只电子青蛙跳动 $ 99 $ 次时,所在点的坐标.
(2) 如果 $ a \lt 0 $, $ b \gt 0 $,写出这只电子青蛙跳动 $ n $ 次后所在的象限.

答案：
(1)由题意，得点${A}_{2}$的坐标为$(a, -b)$，点${A}_{3}$的坐标为$(-a, -b)$，点${A}_{4}$的坐标为$(-a, b)$，点${A}_{5}$的坐标为$(a, b)$……可以发现，每4个点为一组循环.
∵这只电子青蛙跳动99次时，得到点${A}_{100}$，100÷4 = 25(组),
∴点${A}_{100}$与点${A}_{4}$的坐标相同，为$(-a, b)$.
∴这只电子青蛙跳动99次时，所在点的坐标为$(-a, b)$.
(2)
∵$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，
∴点${A}_{1}$在第二象限，点${A}_{2}$在第三象限，点${A}_{3}$在第四象限，点${A}_{4}$在第一象限.
∵这只电子青蛙跳动$n$次时，得到点${A}_{n + 1}$，
∴若$(n + 1)÷4$的结果正好除尽，则此时点在第一象限；若$(n + 1)÷4$的结果余1，则此时点在第二象限；若$(n + 1)÷4$的结果余2，则此时点在第三象限；若$(n + 1)÷4$的结果余3，则此时点在第四象限.