《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

典例3 如图,在$\triangle ABC$中,I是三角形角平分线的交点,O是三边垂直平分线的交点,连接$AI$、$BI$、$AO$、$BO$。若$\angle AOB = 140^{\circ}$,则$\angle AIB$的度数为( )


A.$160^{\circ}$
B.$140^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$125^{\circ}$

答案：
D 解析:如图,连接CO.
∵∠AOB=140°,
∴∠OAB+∠OBA=180° - 140°=40°.
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC=180° - 40°=140°.
∵O是△ABC三边垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC.
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC.
∴∠OCA+∠OCB=70°.
∴∠CAB+∠CBA=180° - 70°=110°.
∵AI平分∠CAB,BI平分∠CBA.
∴∠IAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,∠IBA=$\frac{1}{2}$∠CBA.
∴∠IAB+∠IBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA)=55°.
∴∠AIB=180° - 55°=125°.

[变式] 如图,P为$\triangle ABC$三边垂直平分线的交点,$\angle PAC = 22^{\circ}$,$\angle PCB = 33^{\circ}$,则$\angle PAB$的度数为( B )
A.$33^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$37^{\circ}$
D.$39^{\circ}$

答案： B 解析:
∵P为△ABC三边垂直平分线的交点,
∴PA=PB=PC.
∴∠PCA=∠PAC=22°,∠PBC=∠PCB=33°,∠PAB=∠PBA.
∵∠PCA+∠PAC+∠PBC+∠PCB+∠PAB+∠PBA=180°,
∴∠PAB=∠PBA=35°.

典例4 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,D为BC的中点,连接AD,AC的垂直平分线EF交AB于点E,交AD于点O,交AC于点F,连接OB,OC。
(1) 求证：$\triangle AOB$是等腰三角形。
(2) 若$\angle BAD = 18^{\circ}$,求$\angle AEF$的度数。

答案：
(1)
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD是BC的垂直平分线.
∴OB=OC.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC.
∴OA=OB.
∴△AOB是等腰三角形.
(2)
∵EF是AC的垂直平分线,
∴∠AFE=90°.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
∴∠EAF=2∠BAD=36°.
∴∠AEF=90° - ∠EAF=54°.

[变式] 如图,在$\triangle ABC$中,AD平分$\angle BAC$,E是BC上一点,$BE = CD$,$EF // AD$,交AB于点F,交CA的延长线于点P,$CH // AB$,交AD的延长线于点H。
(1) 求证：$\triangle APF$是等腰三角形。
(2) AB与PC有何数量关系？请说明理由。

答案：

(1)如图,
∵EF//AD,
∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠P.
∴AF=AP.
∴△APF是等腰三角形.
(2)AB=PC.
理由:如图,
∵CH//AB,
∴∠5=∠B,∠H=∠1.
由
(1),知∠1=∠2.
∴∠2=∠H.
∴AC=CH.
∵EF//AD,
∴∠1=∠3.
∴∠H=∠3.
在△BEF和△CDH中,
{∠3=∠H,
∠B=∠5,
BE=CD,
}
∴△BEF≌△CDH.
∴BF=CH.
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AC+AP,AF=AP,
∴AB=PC.

典例5 如图,在等边三角形ABC中,AD是边BC上的中线,且$AD = 6$,E是AD上的一个动点,F是边AB的中点,在点E的运动过程中,$BE + EF$的最小值为( B )

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： B