《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

8. 如图,在一棵树的10m高的B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后,直接跃到A处(路线看成直线). 如果两只猴子所经过的路程相等,那么这棵树的高度为15m.

答案： 15 解析:设这棵树的高度为x m.由题意,知两只猴子所经过的路程都为30 m,∠C=90°.
∴AD=30-(x - 10)=(40 - x)m.在Rt△ACD中,由勾股定理,得x²+20²=(40 - x)²,解得x=15.
∴这棵树的高度为15 m.

9. 如图,$∠AOB= 90^{\circ }$,$OA= 18m$,$OB= 6m$,一个机器人在点B处看见一个小球从点A出发,沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球. 若小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,则机器人行走的路程BC是多少?
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答案：
∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,
∴BC=AC.设BC=x m,则AC=x m,OC=OA - AC=(18 - x)m.
∵∠AOB=90°,
∴OB²+OC²=BC².
∴6²+(18 - x)²=x²,解得x=10.
∴机器人行走的路程BC是10 m.

10. 如图,一棵大树AD的两侧各有一根斜拉的绳子,小明想用所学知识测量大树AD的高,他从工作人员处了解到绳子AB的长为13m,AC的长为20m,然后用米尺测得点B、C之间的距离为21m. 已知点B、C、D在同一条直线上,$AD⊥BC$,求大树AD的高.
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答案： 设BD=x m,则CD=(21 - x)m.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中,AD²=AB² - BD²,在Rt△ACD中,AD²=AC² - CD²,
∴AB² - BD²=AC² - CD².
∵AB=13 m,AC=20 m,
∴13² - x²=20²-(21 - x)²,解得x=5.
∴BD=5 m.
∴AD²=AB² - BD²=144 m².
∴AD=12 m.
∴大树AD的高为12 m.

11. 如图,笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A、B,其中$AB= AC$. 由于某种原因,从旅游地C到漂流点A的路现在已经不通,为了方便游客,决定在河边新建一个漂流点H(漂流点A、H、B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得$BC= 5$千米,$CH= 4$千米,$BH= 3$千米,则$AC=$$\frac{25}{6}$千米.

答案： $\frac{25}{6}$ 解析:在△CHB中,BC=5千米,CH=4千米,BH=3千米,
∴CH²+BH²=BC².
∴△CHB是直角三角形,且∠CHB=90°.
∴CH⊥AB.设AC=AB=x千米,则AH=AB - BH=(x - 3)千米.在Rt△ACH中,由勾股定理,得AC²=AH²+CH²,即$x^{2}=(x - 3)^{2}+4^{2}$,解得$x=\frac{25}{6}$.
∴$AC=\frac{25}{6}$千米.

12. 某市夏季经常受台风天气影响,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力. 如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B. 已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km,且$AB= 500km$,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.
(1) 求证：$∠ACB= 90^{\circ }$.
(2) 海港C受台风影响吗? 为什么?
(3) 若台风的速度为40km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长?
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答案：
(1)在△ABC中,AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km,
∴AC²+BC²=AB².
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
(2)海港C受台风影响.如图,过点C作CD⊥AB于D.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$,
∴$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240$(km).
∵250＞240,
∴海港C受台风影响.
(3)如图,当EC=250 km,FC=250 km时,正好影响海港C.在Rt△CED中,由勾股定理,得$ED=\sqrt{EC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{250^{2}-240^{2}}=70$(km).
∴EF=140 km.
∵台风的速度为40 km/h,
∴140÷40=3.5(h).
∴台风影响该海港持续的时间为3.5 h.