《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且BD= CD.求证：BE= CF.

答案：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=
∠AFD=90°.
又
∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD.
∴AE=AF，DE=DF.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵BD=CD，DE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD.
∴BE=CF.

11. (1) 如图①,A、E、F、C四点在同一条直线上,AE= CF,过点E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,连接BD交AC于点G.若AB= CD,求证：FG= EG.
(2) 若将△CDE沿AC方向移动,变为如图②所示的图形,问题(1)中的其他条件不变,则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.

答案： （1）
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
{AB=CD，
AF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE.
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中，
{∠BGF=∠DGE，
∠BFG=∠DEG，
BF=DE，
∴△BFG≌△DEG.
∴FG=EG.
（2）结论仍成立.
理由：
∵△CDE只是作了平移，
∴仍有Rt△ABF≌Rt△CDE.
∴BF=DE.
同（1），可证△BFG≌△DEG，
∴FG=EG.

12. 在△ABC和$△A_1B_1C_1$中$,AB= A_1B_1,AC= A_1C_1,$高$AD= A_1D_1,$且$AB＞AC,A_1B_1＞A_1C_1,$则∠ACB和$∠A_1C_1B_1$的关系是(C)
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.以上都不对

答案： C 解析：若△ABC和△A₁B₁C₁
如图①②所示，则易得Rt△ACD≌
Rt△A₁C₁D₁，
∴∠ACB=∠A₁C₁B₁.
若△ABC和△A₁B₁C₁如图①③所示，
则易得Rt△ACD≌Rt△A₁C₁D₁，
∴∠ACD=∠A₁C₁D₁.
∴∠ACB+
∠A₁C₁B₁ = ∠A₁C₁D₁ +
∠A₁C₁B₁=180°.综上所述，∠ACB
和∠A₁C₁B₁的关系是相等或互补.

13. 线段AB与CD相交于点E,AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C.
(1) 如图①,若AB= CD,试探究线段BE与CE的数量关系.
(2) 如图②,若AB= BD,∠BDE= 22.5°,试探究线段DE与AC的数量关系.

答案： （1）如图①，连接AD.
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°.
在Rt△ACD和Rt△DBA中，
{CD=BA，
AD=DA，
∴Rt△ACD≌Rt△DBA.
∴AC=DB.
在△ACE 和△DBE中，
{∠AEC=∠DEB，
∠C=∠B，
AC=DB，
∴△ACE≌△DBE.
∴CE=BE.
（2）如图②，连接AD，延长AC、DB
交于点F.
由题意，得∠ACE=∠DBE=90°，
∠AEC=∠BED，
∴易得∠CAE=∠BDE=22.5°.
∵AB=BD，
∴易得∠ADB=45°.
∴∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°.
∴∠ADC=∠FDC.
在△ACD和△FCD中，
{∠ACD=∠FCD=90°，
CD=CD，
∠ADC=∠FDC，
∴△ACD≌△FCD.
∴AC=FC.
∴AF=2AC.
在△ABF和△DBE中，
{∠ABF=∠DBE=90°，
AB=DB，
∠BAF=∠BDE，
∴△ABF≌△DBE.
∴AF=DE.
∵AF=2AC，
∴DE=2AC.