《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

10. 在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(4,0)$.$P$是第一象限内任意一点,连接$PO$、$PA$.若$\angle POA= m^{\circ}$,$\angle PAO= n^{\circ}$,则把$P(m,n)叫作点P$的“角坐标”.点$(2,2)$的“角坐标”为(45,45).

答案： (45,45)

11. 在平面直角坐标系中,点$P的坐标为(2m+5,3m+3)$.
(1)若点$P在x$轴上,求点$P$的坐标.
(2)若点$P在过点A(-5,1)且与y$轴平行的直线上,求点$P$的坐标.
(3)将点$P$向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到点$M$,若点$M$在第三象限,且点$M到y$轴的距离为7,求点$M$的坐标.

答案：
(1) $\because$点P在x轴上, $\therefore$点P的纵坐标为0. $\therefore$3m + 3 = 0,解得 $m=-1$. $\therefore$2m + 5 = 3. $\therefore$点P的坐标为(3,0).
(2) $\because$点P在过点A(-5,1)且与y轴平行的直线上, $\therefore$点P的横坐标为-5. $\therefore$2m + 5=-5,解得 $m=-5$. $\therefore$3m + 3=-12. $\therefore$点P的坐标为(-5,-12).
(3) 由题意,得点M的坐标为$(2m + 5 + 2,3m + 3 + 3)$. $\because$点M在第三象限,且点M到y轴的距离为7, $\therefore$点M 的横坐标为-7. $\therefore$2m + 5 + 2=-7,解得 $m=-7$. $\therefore$3m + 3 + 3=-15. $\therefore$点M的坐标为(-7,-15).

12. 已知点$P(2a-3,a+6)$.
(1)若点$Q的坐标为(3,3)$,且直线$PQ// y$轴,求出点$P$的坐标.
(2)若点$P$在第二象限,且它到$x$轴、$y$轴的距离相等,求出点$P$的坐标.

答案：
(1) $\because$点Q 的坐标为(3,3),直线$PQ// y$轴, $\therefore$2a - 3 = 3,解得 $a = 3$. $\therefore$a + 6 = 3 + 6 = 9. $\therefore$点P的坐标为(3,9).
(2) $\because$点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等, $\therefore$3 - 2a = a + 6,解得 $a=-1$. $\therefore$2a - 3=-5,$a + 6 = 5$. $\therefore$点P的坐标为(-5,5).

13. 如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标是(0,6)$,$B是x$轴上的一个动点.以$AB为边向右侧作等边三角形ABC$,连接$OC$,在运动过程中,$OC$长的最小值为______.

答案：
3 解析:如图,以OA为边向左侧作等边三角形AOE,连接BE. $\therefore OA = EA = OE$,$\angle OAE=\angle AOE = 60^\circ$. $\because \triangle ABC$是等边三角形, $\therefore AB = AC$,$\angle BAC = 60^\circ$. $\therefore \angle BAC-\angle OAB = 60^\circ-\angle OAB=\angle OAE-\angle OAB$,即 $\angle OAC=\angle EAB$. 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACO$ 中,$\begin{cases} EA = OA, \\ \angle EAB=\angle OAC, \\ AB = AC, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABE\cong\triangle ACO$. $\therefore BE = OC$. 由垂线段最短可知,当$BE\perp x$轴时,BE的长最小. $\because$点A的坐标是(0,6), $\therefore OA = 6$. $\therefore OE = 6$. 又 $\because \angle AOE = 60^\circ$,$\angle AOB = 90^\circ$,$\therefore \angle BOE = 30^\circ$. 在$\text{Rt}\triangle BOE$中,$BE=\dfrac{1}{2}OE = 3$,$\therefore$在运动过程中,OC长的最小值为3.

14. 在平面直角坐标系中,对于$P$、$Q$两点给出如下定义：若点$P到x$轴、$y轴的距离中的较大值等于点Q到x$轴、$y$轴的距离中的较大值,则称$P$、$Q$两点为“等距点”.如图中的$P$、$Q$两点即为“等距点”.
(1)已知点$A的坐标为(-3,1)$.
① 在点$E(0,3)$、$F(3,-3)$、$G(2,-5)$中,与点$A$为“等距点”的是______E、F.
② 若点$B的坐标为(m,m+6)$,且$A$、$B$两点为“等距点”,则点$B$的坐标为______(-3,3).
(2)若$T_1(-1,-k-3)$、$T_2(4,4k-3)$两点为“等距点”,求$k$的值.
$\because T_1(-1,-k - 3)$、$T_2(4,4k - 3)$两点为"等距点", $\therefore$分情况讨论:① 若 $|4k - 3|\leq4$,则 $4=-k - 3$ 或 $-4=-k - 3$,解得 $k=-7$(不合题意,舍去)或 $k = 1$. ② 若 $|4k - 3|＞4$,则 $|4k - 3|=|-k - 3|$,解得 $k = 2$ 或 $k = 0$(不合题意,舍去). 综上所述,k的值是1或2.

答案：
(1) ① E、F. ② (-3,3).
(2) $\because T_1(-1,-k - 3)$、$T_2(4,4k - 3)$两点为"等距点", $\therefore$分情况讨论:① 若 $|4k - 3|\leq4$,则 $4=-k - 3$ 或 $-4=-k - 3$,解得 $k=-7$(不合题意,舍去)或 $k = 1$. ② 若 $|4k - 3|＞4$,则 $|4k - 3|=|-k - 3|$,解得 $k = 2$ 或 $k = 0$(不合题意,舍去). 综上所述,k的值是1或2.