《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

[变式]如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },BC= 6,AC= 8$,分别以$Rt△ABC$的各边长为直径作半圆,则图中两个“月牙”(涂色部分)的面积为24.

答案： 24 解析：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BC=6$，$AC=8$，$\therefore AB=10$.$\therefore S_{\text{涂色}}=\frac{1}{2}\pi× (\frac{6}{2})^{2}+\frac{1}{2}\pi× (\frac{8}{2})^{2}+\frac{1}{2}× 6× 8-\frac{1}{2}\pi× (\frac{10}{2})^{2}=\frac{9}{2}\pi+8\pi+24-\frac{25}{2}\pi=24$.

典例2 如图,在$△ABC$中,$CD⊥AB$,垂足为D,$CD= 12,AD= 16,BD= 9.$

(1)分别求出AC、BC的长.
(2)$△ABC$是直角三角形吗?请说明理由.
提示
(1)在$Rt△ACD$中,根据勾股定理,可求得AC的长；在$Rt△CDB$中,根据勾股定理,可求得BC的长.(2)由$AB= AD+BD$,易得$AC^{2}+BC^{2}= AB^{2}$,根据勾股定理的逆定理,可知$△ABC$是直角三角形.

答案： （1）$\because CD\perp AB$，$\therefore \triangle ACD$是直角三角形，$\triangle CDB$是直角三角形.在$\text{Rt}\triangle ACD$中，$CD=12$，$AD=16$，$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$，$\therefore AC=20$.在$\text{Rt}\triangle CDB$中，$CD=12$，$BD=9$，$BC^{2}=CD^{2}+BD^{2}$，$\therefore BC=15$.（2）$\triangle ABC$是直角三角形，理由：$\because AB=AD + BD=25$，$\therefore AB^{2}=625$.由（1），得$AC=20$，$BC=15$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=625=AB^{2}$.$\therefore \triangle ABC$是直角三角形.

[变式]如图,在四边形ABCD中,$∠C= 90^{\circ }$,BD平分$∠ABC,AD= 3$,E为AB上一点,$AE= 4,ED= 5$.求证:$AD= CD.$

答案： $\because AD=3$，$AE=4$，$ED=5$，$\therefore AD^{2}+AE^{2}=ED^{2}$.$\therefore \triangle ADE$是直角三角形，且$\angle A=90^{\circ}$.又$\because \angle C=90^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，$\therefore AD=CD$.

典例3 如图,一艘轮船从A港沿南偏西$48^{\circ }$方向航行100 km到达B岛,再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛,A港到航线BM的最短距离AD是60 km.
(1)若轮船的速度为25 km/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间.
(2)C岛在A港的什么方向?

提示
(1)先根据勾股定理可以求得BD的长,再利用勾股定理求得AC的长,即可求出从C岛返回A港所需的时间.(2)由勾股定理的逆定理,知$∠BAC= 90^{\circ }$,并根据方向角的定义确定C岛在A港的什么方向.

答案： （1）由题意，得$\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$.在$\text{Rt}\triangle ABD$中，$\because AD=60\ \text{km}$，$AB=100\ \text{km}$，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，$\therefore BD=80\ \text{km}$.$\therefore CD=BC - BD=125 - 80=45(\text{km})$.在$\text{Rt}\triangle ACD$中，$\because AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$，$\therefore AC=75\ \text{km}$.$\because 75÷ 25=3(\text{h})$，$\therefore$轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h.（2）$\because AB^{2}+AC^{2}=100^{2}+75^{2}=15625$（$\text{km}^{2}$），$BC^{2}=125^{2}=15625(\text{km}^{2})$，$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$.$\therefore \angle BAC=90^{\circ}$.$\therefore \angle NAC=180^{\circ}-90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$.$\therefore$ C岛在A港的北偏西$42^{\circ}$方向.