《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 如图,$AB= DC$,$AC= DB$,$AC和DB相交于点E$.求证：$∠A= ∠D$.

答案： 连接BC.在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠A=∠D.

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠B= ∠D= 90^{\circ}$,点$E$、$F分别在AB$、$AD$上,$AE= AF$,$CE= CF$.求证：$CB= CD$.

答案：
如图，连接AC.在△ACE和△ACF中，AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴∠EAC=∠FAC.在△ACB和△ACD中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC，AC=AC，
∴△ACB≌△ACD.
∴CB=CD.
　　　

3. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,点$E$、$F分别在AB$、$AC$上,且$DE⊥DF$,连接$EF$.求证：$BE+CF＞EF$.

答案：
如图，延长FD至点G，使得GD=DF，连接BG、EG.
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.在△DFC和△DGB中，DF=DG，∠CDF=∠BDG，CD=BD，
∴△DFC≌△DGB.
∴CF=BG.
∵DE⊥DF，
∴∠FDE=∠GDE=90°.在△EDF和△EDG中，DF=DG，∠FDE=∠GDE，DE=DE，
∴△EDF≌△EDG.
∴EF=EG.在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF.
　　　

4. 如图,在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$AM$,$A'M'分别是边BC$,$B'C'$上的中线,$AB= A'B'$,$AC= A'C'$,$AM= A'M'$.求证：$\triangle ABC≌\triangle A'B'C'$.

答案：
如图，延长AM到点E，使AM=ME，连接BE，延长A'M'到点E'，使A'M'=M'E'，连接B'E'.
∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM.在△AMC和△EMB中，AM=EM，∠AMC=∠EMB，CM=BM，
∴△AMC≌△EMB.
∴∠MAC=∠E，AC=EB.同理，可得∠E'=∠M'A'C'，B'E'=A'C'.
∵AC=A'C'，
∴BE=B'E'.
∵AE=2AM，A'E'=2A'M'，且AM=A'M'，
∴AE=A'E'.在△ABE和△A'B'E'中，AE=A'E'，BE=B'E'，AB=A'B'，
∴△ABE≌△A'B'E'.
∴∠BAE=∠B'A'E'，∠E=∠E'.又
∵∠E=∠MAC，∠E'=∠M'A'C'，
∴∠MAC=∠M'A'C'.
∴∠BAM+∠MAC=∠B'A'M'+∠M'A'C'，即∠BAC=∠B'A'C'.在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'.