《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

8. 当两个全等的直角三角形按如图①或图②所示的方式摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理,下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放,其中∠DAB= 90°,求证:a^2+b^2= c^2.
证明:连接DB,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,则DF= EC= b-a.
∵S四边形$ADCB= S△ACD+S△ABC= \frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab,$又∵S四边形$ADCB= S△ADB+S△DBC= \frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a),$∴$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab= \frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a).$∴a^2+b^2= c^2.
请参照上述证法,利用图②完成下面的证明:
将两个全等的直角三角形按如图②所示的方式摆放,其中∠DAB= 90°,求证:a^2+b^2= c^2.

答案：
如图,连接BD,过点B作 $ BF \perp DE $,交DE的延长线于点F,则 $ BF=b - a $.
∵ $ S_{四边形 ADEB}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab $,
又
∵ $ S_{四边形 ADEB}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle DEB}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a) $,
∴ $ \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a) $.
∴ $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $.
　　　　

9. 如图,E为AC上一点,AC⊥BC,AC⊥AD,AB= DE,AB、DE交于点F,且AB⊥DE,连接BD、BE.
(1) 试判断线段BC、DA、CE的数量关系,并说明理由.
(2) 若设BC= a,AC= b,AB= c,利用此图证明勾股定理.

答案：

(1) $ DA=CE+BC $.
理由:如图,
∵ $ AC \perp BC $, $ AC \perp AD $,
∴ $ \angle ACB=\angle DAE=90^{\circ} $.
又
∵ $ AB \perp DE $,
∴ $ \angle DFA=\angle EFA=90^{\circ} $.
∴ $ \angle 1+\angle 2=90^{\circ} $, $ \angle 3+\angle 2=90^{\circ} $.
∴ $ \angle 1=\angle 3 $.
在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEA $ 中,
$ \begin{cases} \angle ACB=\angle DAE, \\\angle 1=\angle 3, \\AB=DE,\end{cases} $
∴ $ \triangle ABC \cong \triangle DEA $.
∴ $ AC=DA $, $ BC=EA $.
又
∵ $ AC=CE+EA $,
∴ $ DA=CE+EA=CE+BC $.
(2) 由
(1),得 $ BC=EA=a $, $ AC=DA=b $, $ AB=DE=c $.
∵ $ S_{四边形 ADBE}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}DE \cdot AF+\frac{1}{2}DE \cdot BF=\frac{1}{2}DE \cdot AB=\frac{1}{2}c^{2} $, $ S_{四边形 ADBE}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2} $,
∴ $ \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2} $.
∴ $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $.