《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

11. 如图,在$△ABC$中,$AD⊥BC$,$CE⊥AB$,垂足分别是D、E,AD、CE交于点H,$AE= CE$.
(1)求证：$△BEC\cong △HEA$.
(2)若$BE= 7$,$CH= 3$,求线段AE的长.
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答案：
(1)
∵CE⊥AB,AD⊥BC,
∴∠BEC=∠AEC=∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠DHE=∠AEC+∠EAH=∠ADC+∠BCE,
∴∠EAH=∠BCE.
在△BEC和△HEA中,
∠BEC=∠HEA,
CE=AE,
∠BCE=∠HAE,
∴△BEC≌△HEA.
(2)
∵△BEC≌△HEA,
∴BE=HE=7.
∵CH=3,
∴AE=CE=CH+HE=3+7=10.

12. 如图,$∠A= ∠B$,$AE= BE$,点D在边AC上,$∠CED= ∠AEB$,AE交BD于点F.求证：
(1)$△AEC\cong △BED$.
(2)DE平分$∠BDC$.
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答案：
(1)
∵∠CED=∠AEB,
∴∠CED+∠AED=∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
∠A=∠B,
AE=BE,
∠AEC=∠BED,
∴△AEC≌△BED.
(2)
∵△AEC≌△BED,
∴∠C=∠EDB,CE=DE.
∴易得∠C=∠EDC.
∴∠EDB=∠EDC.
∴DE平分∠BDC.

13. 如图,点A在DE上,点F在AB上,且$BC= DC$,$ED= 3$,$∠BCD= ∠ACE= ∠BAD$,则AB的长为____.
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3

答案： 3　解析:
∵∠BCD=∠BAD,∠BFC=∠DFA,
∴∠B=∠D.
∵∠BCD=∠ACE,
∴易得∠BCA=∠DCE.在△ABC和△EDC中，
∠B=∠D,
BC=DC,
∠BCA=∠DCE,
∴△ABC≌△EDC.
∴AB=ED=3.

14. 易错题 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$∠BAC= 90^{\circ }$,D是直线AB上的一个动点(不与点A、B重合),$BE⊥CD$,交直线CD于点E,交直线AC于点F.
(1)若点D在边AB上,试判断线段BD、AB和AF之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)若点D在AB的延长线或反向延长线上,则问题(1)中的结论是否成立？若不成立,请直接写出正确的结论.
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答案：
(1)AB=AF+BD.
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠FEC=90°.
∴∠F+∠FCE=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠FAB=90°.
∴∠F+∠FBA=90°.
∴∠FBA=∠FCE.
在△AFB和△ADC中,
∠FAB=∠DAC,
AB=AC,
∠FBA=∠DCA,
∴△AFB≌△ADC.
∴AF=AD.
∴AB=AD+BD=AF+BD.
(2)问题
(1)中的结论不成立.
如图①,当点D在AB的延长线上时，同
(1),可得AF=AD,
∴AB=AD−BD=AF−BD.
如图②,当点D在AB的反向延长线上时,同
(1),可得AF=AD,
∴AB=BD−AD=BD−AF.