《2025年拔尖特训八年级数学上册苏科版》

1. 下列各数中,属于无理数的是(C)
A.$\frac{1}{4}$
B.$0.\dot{3}$
C.$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt[3]{8}$

答案： C

2. 在$\sqrt{9}$、$-2$、$3\pi$、$-\frac{1}{8}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$0$、$\sqrt{2}$、$3.14$、$\sqrt[3]{-27}$、$\frac{\pi}{5}$这些数中,无理数共有(A)
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

答案： A

3. 估计$\sqrt{43}$的值在(D)
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间

答案： D

4. 如果$a$是无理数,那么$a^{2}$不一定是无理数(填“一定”“不一定”或“一定不”)。

答案： 不一定

5. 在$-1.4144$、$-\sqrt{2}$、$\frac{22}{7}$、$\frac{\pi}{3}$、$2-\sqrt{3}$、$0.\dot{3}$、$2.12111211112…$(相邻的两个“2”之间依次多两个“1”)中,属于无理数的是$-\sqrt{2}$、$\frac{\pi}{3}$、$2-\sqrt{3}$、$2.12111211112…$(相邻的两个“2”之间依次多两个“1”)。

答案： $-\sqrt{2}$、$\frac{\pi}{3}$、$2-\sqrt{3}$、2.121112111112…（相邻的两个“2”之间依次多两个“1”）

6. 把下列各数填到相应的括号内：$\frac{22}{7}$、$\frac{\pi}{5}$、$0$、$3.14$、$-\sqrt{5}$、$-\sqrt{64}$、$7.151551…$(相邻的两个“1”之间依次多一个“5”)。
整数：…$\{ $0、$-\sqrt{64}$$\}$。
分数：…$\{ $$\frac{22}{7}$、3.14$\}$。
无理数：…$\{ $$\frac{\pi}{5}$、$-\sqrt{5}$、7.151551…（相邻的两个“1”之间依次多一个“5”）$\}$。

答案： 整数：0、$-\sqrt{64}$；分数：$\frac{22}{7}$、3.14；无理数：$\frac{\pi}{5}$、$-\sqrt{5}$、7.151551…（相邻的两个“1”之间依次多一个“5”）.

7. 若$a$、$b$是不相等的无理数,则下列结论正确的是(D)
A.$a + b$一定是无理数
B.$a - b$一定是无理数
C.$a\cdot b$一定是无理数
D.$\frac{a}{b}$不一定是无理数

答案： D

8. 如图,数轴上的点$P$表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是(B)
A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\pi$

答案： B

9. 设正方形的面积为$S$,当一个正方形的边长不是有理数时,$S$的值可能为(D)
A.$0.49$
B.$16$
C.$25$
D.$27$

答案： D

10. 已知正整数$a$、$b分别满足\sqrt[3]{54}＜a＜\sqrt[3]{96}$,$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{7}$,则$b^{a}$等于(A)
A.$16$
B.$9$
C.$8$
D.$4$

答案： A 解析：
∵54＜64＜96，3＜4＜7，
∴$\sqrt[3]{54}＜4＜\sqrt[3]{96}$，$\sqrt{3}＜2＜\sqrt{7}$.
∴a=4，b=2.
∴$b^a=2^4=16$.

11. 请写出一个大于$\sqrt{2}且小于\sqrt{10}$的整数：2（或3）。

答案： 2（或3）

12. 估算：$\sqrt{50}\approx$7.1(误差小于$0.1$)。

答案： 7.1 解析：
∵$7^2=49$，$8^2=64$，
∴$7＜\sqrt{50}＜8$.
∵$7.1^2=50.41$，$7.05^2=49.7025$，
∴$\sqrt{50}≈7.1$.

13. $1$、$2$、$3$、…、$100$这$100$个自然数的算术平方根和立方根中,无理数有186个。

答案： 186 解析：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，…，$10^2=100$，
∴1、2、3、…、100 这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个.
∴无理数有90个.
∵$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，$4^3=64＜100$，$5^3=125＞100$，
∴1、2、3、…、100这100个自然数的立方根中，有理数有4个.
∴无理数有96个.
∴1、2、3、…、100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90 + 96 = 186（个）.

14. 定义$[x]为不大于x$的最大整数,如$[2]= 2$,$[\sqrt{3}]= 1$,$[4.1]= 4$。若$[\sqrt{n}]= 5$,则$n$的最大整数值为35。

答案： 35 解析：由题意，得$5≤\sqrt{n}＜6$，
∴$25≤n＜36$.
∴n的最大整数值为35.

15. 求证：$\sqrt{5}$是无理数。

答案： 假设$\sqrt{5}$不是无理数，则$\sqrt{5}$必为有理数.设$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$（a与b是互质的正整数）.两边平方，得$5=\frac{a^2}{b^2}$，即$b^2=\frac{a^2}{5}$.
∵b是正整数，
∴a一定为5的倍数.设a=5n（n是整数），则$n^2=\frac{b^2}{5}$.
∴b也为5的倍数，和a与b是互质的正整数矛盾.
∴$\sqrt{5}$不是有理数，是无理数.